Ayuda para comprender la prueba de " $\sum |a_n|$ converge $\Rightarrow$ $\sum a_n$ converge"

Question

Estoy estudiando por mi cuenta Análisis Real. No puedo entender una demostración de este teorema comúnmente conocido:

Teorema . Toda serie absolutamente convergente es convergente.

Prueba . Si $\sum |a_n|$ converge, dada una $\varepsilon>0$ existe $n_0 \in \mathbb{N}$ tal que $n>n_0 \Rightarrow |a_{n+1}| + ... + |a_{n+p}|<\varepsilon$ cualquiera que sea $p \in \mathbb{N}$ . Así que $|a_{n+1} + ... + a_{n+p}| \leq |a_{n+1}| + ... + |a_{n+p}|<\varepsilon$ . Por lo tanto, $\sum a_n$ converge en virtud del Criterio de Cauchy para series.

El pasaje que no entiendo es $$n>n_0 \Rightarrow |a_{n+1}| + ... + |a_{n+p}|<\varepsilon.$$

¿Por qué? No parece obvio... y no parece desprenderse de ninguna discusión anterior. No sé lo que me estoy perdiendo aquí.

Answer 1

La serie $\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$ es definido converge si, para todo $\epsilon>0$ existe un $N\in\mathbb{N}$ tal que $\left|\sum_{n=p}^{q}a_{n}\right|<\epsilon$ para todos $N\leq p<q$ . Si, en particular, $\sum_{n=1}^{\infty}|a_{n}|$ converge, entonces dado $\epsilon>0$ existe (por definición) $N\in\mathbb{N}$ tal que \begin{equation*} \left|\sum_{n=p}^{q}|a_{n}|\right|=|a_{p}|+\ldots+|a_{q}|<\epsilon \end{equation*} si $N\leq p<q$ pero, por supuesto, \begin{equation*} \left|\sum_{n=p}^{q}a_{n}\right|\leq |a_{p}|+\ldots+|a_{q}|<\epsilon \end{equation*} así que $\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$ también es convergente (por definición).

Answer 2

Aquí tienes otro método: Tenga en cuenta que $$a_n=\frac{|a_n|+a_n}{2}-\frac{|a_n|-a_n}{2},n\in \mathbb N.$$ Obviamente, tenemos $$0\leq\frac{|a_n|+a_n}{2}\leq|a_n|\ \ \text{and}\ \ 0\leq\frac{|a_n|-a_n}{2}\leq|a_n|,$$ por prueba de comparación de series positivas，ambas de las series. $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{|a_n|+a_n}{2}\ \ \text{and}\ \ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{|a_n|-a_n}{2}$$ convergen. Así que la serie $$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$$ converge.