Ejemplo de ideal fraccionario cuya inversa no conmuta con la localización

Question

Sea $R$ sea un dominio integral, y $K$ su campo de fracciones. Es bien sabido que para un finitamente generado ideal fraccionario $I$ de $R$ y $S$ un conjunto multiplicativo tenemos $$(R:_KI)_S=(R_S:_KI_S).$$

Supongo que en general la ecuación anterior falla, pero no conozco tal ejemplo.

El anillo noetheriano habitual $k[X_1,\dots,X_n,\dots]$ no es una opción ya que es un dominio Krull, o para dominios Krull la igualdad se mantiene para todos los ideales fraccionarios.

Answer 1

Sea $R = \mathbb{Z}+X\mathbb{Q}[X]$ y $I = X\mathbb{Q}[X] = (X, X/2, X/3, \ldots)$ y que $S = \{1,2,3,\ldots\}$ . Entonces $K = \mathbb{Q}(X)$ , $R_S = \mathbb{Q}[X]$ y $I_S = X \mathbb{Q}[X]$ de donde $(R_S:_K I_S) = (1/X)\mathbb{Q}[X]$ . Sin embargo, $(R:_K I) = \mathbb{Q}[X] = R_S$ de modo que $(R:_K I)_S = (R_S)_S = R_S = \mathbb{Q}[X]$ .

Para ver que $(R:_K I) = \mathbb{Q}[X]$ Obsérvese que $y \in (R:_K I)$ implica $$y = \frac{f_1}{X} = \frac{f_2}{X/2} = \frac{f_3}{X/3} = \cdots$$ para algunos $f_1, f_2, f_3, \ldots \in R$ lo que implica que $2, 3, 4, \ldots$ todos se dividen $f_1$ en $R$ lo que implica que $f_1(0) = 0$ y por lo tanto $f_1 \in X\mathbb{Q}[X]$ y por lo tanto $y \in \mathbb{Q}[X]$ . Por el contrario, si $y \in \mathbb{Q}[X]$ entonces $Iy \subseteq I \subseteq R$ Así que $y \in (R:_K I)$ .

Un ejemplo similar que también debería funcionar es $R = \operatorname{Int}(\mathbb{Z})$ (el anillo de polinomios de valor entero), $I = \{f \in \operatorname{Int}(\mathbb{Z}): f(0) = 0\}$ y $S = \{1,2,3,\ldots\}$ .