¿Existe un análogo combinatorio del flujo de Ricci?

Question

La cuestión de generalizar el empaquetado circular a tres dimensiones se planteó en 65677 . Existe un claro consenso en que no existe una versión tridimensional obvia del empaquetado circular.

Sin embargo, he visto un comentario que dice que el empaquetamiento circular en superficies y el flujo de Ricci en superficies están relacionados. El empaquetamiento de círculos es una extensión del empaquetamiento de círculos para incluir los ángulos de intersección entre los círculos con una elección particular de estos ángulos. Mi pregunta inicial es para pedir una explicación de esto.

Mi verdadera pregunta debería ser ahora evidente. Existe una extensión del flujo de Ricci a tres dimensiones: ¿existe entonces alguna versión del empaquetamiento de círculos en tres dimensiones que pueda interpretarse como una versión combinatoria del flujo de Ricci?

Answer 1

Aún no se ha mencionado la interesante definición de curvatura de Ricci de Yann Ollivier una definición especialmente adaptada a los espacios discretos, como los grafos. Su definición "puede utilizarse para definir una noción de 'curvatura a una escala dada' para espacios métricos". métricas". Por ejemplo, muestra cómo el cubo discreto $\{ 0,1 \}^n$ se comporta como $\mathbb{S}^n$ en tener curvatura positiva constante, y poseyendo un análogo del Lévy " concentración de medida " (la masa de $\mathbb{S}^n$ se concentra alrededor de su ecuador).

Su definición se utiliza en el reciente documento (abril, 2011) de Jürgen Jost y Shiping Liu: " Curvatura de Ricci de Ollivier, agrupamiento local y desigualdades de dimensión de curvatura en grafos ."

He aquí dos fuentes primarias:

Y. Ollivier, Curvatura de Ricci de cadenas de Markov en espacios métricos , J. Funct. Anal. 256 (2009), nº 3, 810-864.

Y. Ollivier, Estudio de la curvatura de Ricci para espacios métricos y cadenas de Markov , en Probabilístico de la geometría , 343-381, Adv. Stud. Pure Math. , 57, Math. Soc. Japan, Tokio, 2010.

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Actualización ( 7Feb13 ). He visto esta publicación reciente en el arXiv:

Warner A. Miller, Jonathan R. McDonald, Paul M. Alsing, David Gu, Shing-Tung Yau, "Flujo de Ricci simplicial". arXiv:1302.0804 [math.DG] .

Answer 2

El siguiente documento

F. Luo, A combinatorial curvature flow for compact 3-manifolds with boundary,

http://arxiv.org/abs/math/0405295 (ahora publicado en anuncios electrónicos de investigación, AMS, Volumen 11, Páginas 12--20)

proporciona un flujo combinatorio para 3-manifolds con límites consistentes en superficies con característica de Euler negativa. Trata de la convergencia de una métrica inicial "hiperbólica a trozos" a una métrica hiperbólica real con frontera geodésica. La analogía con el flujo de Ricci es muy leve, pero espero que esta referencia te interese de todos modos.