Producto tensorial de dos $n\times n$ matrices ortogonales con determinante $+1$

Question

Si dos matrices cuadradas A y B son dos $n\times n$ matrices ortogonales con determinante unidad, es decir, $\det A=\det B=+1$ y $A^TA=B^TB=I$ será el producto tensorial $C\equiv A\otimes B$ también son ortogonales y tienen determinante $+1$ ? ¿Podemos entenderlo sin limitarnos a opciones especiales para $n$ como $n=2,3$ etc

Answer 1

Todas estas propiedades pueden entenderse viendo el producto tensorial de matrices como un producto de Kronecker; recomiendo investigarlo.

Como sugirió @ Semiclassical utilizaremos el hecho de que $$(A\otimes B)(C \otimes D)=(AC) \otimes (BD)$$ siempre que los productos estén bien definidos. Tome y $A,B \in O(n)$ Como usted ha señalado, $AA^T=A^TA=BB^T=B^TB=I$ Consideramos que $$(A\otimes B)(A^T \otimes B^T)$$ La transposición funciona bien con el producto de Kronecker (te dejo que lo compruebes): $$(A \otimes B)^T=(A^T \otimes B^T)$$ Así que vemos que $(A \otimes B)\in O(n)$ En cuanto al determinante podemos utilizar otra propiedad del producto de Kronecker: $$det((A \otimes B))=det(A)^n det(B)^n$$