¿Cuál es la cardinalidad de $L^p(\mathbb R)$ , $1 \le p < \infty$ ?

Question

$L^2(\mathbb R)$ es isomorfo a $\ell^2(\mathbb R)$ (que tiene la cardinalidad de $\mathbb R$ ya que existe una inyección al espacio de funciones continuas que tiene la cardinalidad de $\mathbb R$ ), pero ¿qué pasa con los diferentes $1 \le p < \infty$ ?

¿Qué ocurre si consideramos $L^p(O)$ donde $O \subseteq \mathbb R$ ¿Está abierto?

Answer 1

@PhoemueX dio la respuesta anterior (véase https://en.wikipedia.org/wiki/Separable_space#Cardinality los espacios normados separables tienen como máximo una cardinalidad de $\mathbb R$ ). Para probar esta afirmación, véase el comentario de Nate Eldredge al puesto.