¿Por qué $\left(1+ 1/k\right)^k$ convergen a $e$ como $k \to\infty$ ?

Question

Me encontré con esto al aprender sobre secuencias y series. Pero nadie me lo ha demostrado. ¿Hay algún enlace? ¿O sería más allá de lo que sé? (Primer término de análisis)

Answer 1

Por supuesto, esto depende de cómo se defina $e$ . He aquí algo que convencería a un estudiante de cálculo.

Tomando troncos tenemos: $\log((1 + \frac{1}{k})^k) = k \log(1 + \frac{1}{k})$

Así que podemos tomar este límite como $k\rightarrow\infty$ usando la regla de los hospitales.

$$ \lim_{k\rightarrow\infty} k \log(1 + \frac{1}{k}) = \lim_{k\rightarrow\infty} \frac{\log(1 + \frac{1}{k})}{\frac{1}{k}} = \lim_{k\rightarrow\infty} \frac{-\frac{1}{k^2 + k}}{-\frac{1}{k^2}} = \lim_{k\rightarrow\infty} \frac{k^2}{k^2 + k} = 1$$

Por lo tanto, utilizando la continuidad de la función $e^x$ concluimos que

$$\lim_{k\rightarrow\infty} (1 + \frac{1}{k})^k = e^1 = e$$

Answer 2

Normalmente A veces, $e$ es definido ser $\lim_{n \to \infty}\left(1+\frac 1n\right)^n$ . Lo que habría que demostrar es que ese límite existe.

Por cierto, esto también se puede demostrar $$\lim_{n \to \infty}\left(1+\frac 1n\right)^n = \sum_{n = 0}^\infty \frac{1}{n!}$$

Creo que se puede encontrar un debate sobre estas cosas en PMA de Rudin .

Answer 3

Es como calcular el límite de la función $\lim_{x\to \infty}(1+\frac1x)^x$

Es de la forma $1^{\infty}$ .

Así que $$\lim_{x\to \infty}\left(1+\frac1x\right)^x = e^{\lim_{x\to\infty}((1+\frac1x)-1)(x)}$$

$$= e^1$$

$$= e$$