Bilinealidad: ¿qué significa?

Question

¿Qué significa bilineal ¿de verdad? Cada vez que oigo la palabra, pienso que debería ser "¿lineal en 2 sentidos?".

Por ejemplo, a partir de la definición de producto interior (tomada del Apéndice A de "Wavelets For Computer Graphics" de Stollnitz):

Un producto interno en un espacio vectorial V es cualquier mapa desde $V \times V$ a $\mathbb{R}$ es decir:

• Simétrico $\langle u | v \rangle = \langle v | u \rangle$
• Bilineal $\langle au + bv | w \rangle = a \langle u | w \rangle + b \langle v | w \rangle$
• Positivo definido $\langle u | u \rangle > 0$ para todos $u \ne 0$

Pero ¿cómo es la bilinealidad "lineal en 2 sentidos"? (si bilineal significa realmente $2\times$ lineal!)

Answer 1

Significa lineal a la izquierda:

$$\langle au + bv, w \rangle = a \langle u, w \rangle + b \langle v, w \rangle$$

y a la derecha:

$$\langle u, av + bw \rangle = a \langle u, v \rangle + b \langle u, w \rangle.$$

Por simetría, la linealidad a la izquierda implica la linealidad a la derecha, por eso no se menciona explícitamente la linealidad a la derecha (aunque en sentido estricto debería mencionarse).

Answer 2

Por curry se puede pensar en una función de dos variables, $f\colon X\times Y \to Z$ como composición de dos funciones: la primera, dada $x\in X$ tiene una función que envía $x$ a la función $f_x\colon Y\to Z$ y esta función se evalúa en $y\in Y$ dar $f_x(y) = f(x,y)$ .

En $X$ , $Y$ y $Z$ son espacios vectoriales, el conjunto de funciones de $Y$ a $Z$ (escrito $Z^Y$ ) es también un espacio vectorial, por lo que la noción de linealidad tiene sentido para el conjunto de todas esas funciones.

La función $f$ es "bilineal" si y sólo si tanto el mapa $X\to Z^Y$ y los mapas $Y\to Z$ que obtenemos son lineales. Es decir, si y sólo si $f_{x+\alpha x'} = f_x+\alpha f_{x'}$ para todos $x,x'\in X$ y escalar $\alpha$ y para cada $x\in X$ el mapa $f_x\colon Y\to Z$ es lineal. Así que $f$ se obtiene trabajando con dos funciones lineales.

(Simétricamente, se puede pensar en $f$ dada en primer lugar por una función que toma $y\in Y$ a una función $g_y\colon X\to Z$ y esta función se evalúa en $x\in X$ vía $g_y(x) = f(x,y)$ . Otra vez, $f$ es lineal si y sólo si la función $g\colon Y\to Z^X$ es lineal, y las funciones $g_y\colon X\to Z$ son cada uno lineal).

Alternativamente, observe que $f$ es una función de dos variables. La bilinealidad es precisamente la condición "lineal en cada una de las variables por separado". Así que tenemos una función que es lineal en dos formas distintas: en la primera variable y en la segunda variable.

(Espere a llegar a la noción de funciones sesquilineales intentar interpretar "lineal y medio" te dará dolor de cabeza).

Recuerde también que no toda la nomenclatura es necesariamente exacta en cuanto a intuición, y que el significado de algunas palabras ha cambiado a veces desde la época en que se fijó la nomenclatura y la actualidad.

Answer 3

La linealidad existe para funciones 1d como $f(r)$ si esa función obedece a

$f(ar_1+br_2)=af(r_1)+bf(r_2)$

Para funciones 2d como $f(r,s)$ el atributo de linealidad puede existir para una dimensión, para la otra, o para ambas. Si existe para ambas, se dice que la función es "bilineal"

$f(ar_1+br_2,s)=af(r_1,s)+bf(r_2,s)$

$f(r,as_1+bs_2)=af(r,s_1)+bf(r,s_2)$

Answer 4

Bueno, la definición de "bilineal" que tienes ahí es realmente la definición de "lineal en la primera variable". Cuando combinas esto con el axioma de simetría anterior, obtienes "lineal tanto en la primera como en la segunda variable", que es lo que significa "bilineal".