$K\rightarrow K[x]/(g), a\mapsto a+(g)$ es inyectiva

Question

Sea $K$ sea un campo, $g\in K[x]$ irreducible. Entonces $\pi: K\rightarrow K[x]/(g), a\mapsto a+(g)$ es inyectiva.

En mi libro dan a entender que esto es trivial, aunque no estoy muy seguro de haber entendido por qué.

Answer 1

Supongamos que $a\in K$ con $\pi(a)=0$ es decir, $a\in (g)$ . Entonces en $K[x]$ , $a$ es múltiplo de $g$ por lo tanto $a=0$ ou $\deg a\ge \deg g>0$ . Pero de $a\in K$ tenemos $\deg a\le 0$ . Concluimos $a=0$ .

Answer 2

Desde $K$ es un campo, sus ideales son $\{0\}$ y $K$ . El mapa $\pi$ es un homomorfismo de anillo (y preserva la identidad). Por lo tanto, su núcleo no es $K$ por lo que es $\{0\}$ .

En términos más generales, si $f\colon K\to R$ es un homomorfismo de anillo (que preserva la identidad) y $R$ no es el anillo trivial, entonces $f$ es inyectiva.

El hecho de que $g$ es irreducible es irrelevante: basta con suponer que $g$ no es constante.