Subgrupos Sylow 7 en un grupo de orden 168

Question

Otra pregunta de mi estudio cualitativo que me ha dejado perplejo. Sigo un poco perdido con los normalizadores. La pregunta es:

Sea G un grupo de orden 168, y sea P un subgrupo Sylow 7 de G. Demuestre que o bien P es un subgrupo normal de G o bien el normalizador de P es un subgrupo maximal de G.

Answer 1

Supongamos que $P$ no es normal. Entonces por los teoremas de Sylow, $G$ tiene $8$ $7$ -Sylows, todos ellos conjugados a $P$ . Así, el normalizador $N$ de $P$ tiene índice $8$ en $G$ y, por tanto, el orden $21$ . Supongamos que $N$ no es maximal, por lo que hay un subgrupo $H$ de $G$ estrictamente entre $N$ y $G$ . Entonces $H$ debe tener orden $42$ ou $84$ . Los teoremas de Sylow demuestran que $H$ tiene una normal $7$ -Sylow, que debe ser $P$ . Pero entonces $P$ es normal en $H$ contradiciendo el hecho de que $H$ contiene adecuadamente el normalizador $N$ de $P$ .

Answer 2

Una forma de generalizar es la siguiente: Sea $G$ sea un grupo finito y $P$ sea un Sylow $p$ -subgrupo de $G$ . Sea $N= N_{G}(P).$ Entonces, si $1 < [G:N] < (p+1)^{2},$ el subgrupo $N$ debe ser máxima. Supongamos que $M$ es un subgrupo propio de $G$ que contiene estrictamente $N.$ Entonces tenemos $[M:N] \equiv 1$ (mod $p$ ) por el teorema de Sylow, ya que $N = N_{M}(P)$ y $P$ sigue siendo un Sylow $p$ -subgrupo de $M.$ Además, puesto que $[G:N] \equiv 1 $ (mod $p$ ) y $[M:N] \equiv 1$ (mod $p$ ), debemos tener $[G:M] \equiv 1$ (mod $p$ ). Dado que $[G:M] >1$ y $[M:N] >1$ por suposición, tenemos $[G:N] = [G:M][M:N] \geq (p+1)^{2}.$