La respuesta es, en efecto, un poco inferior al límite superior de $10/3$ . Se puede estar cerca de tenerlo todo, pero no tenerlo todo.
En realidad es $9^{2/3}-1\approx 3.3267$ .
La curva en S
Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que el $x$ están en orden ascendente definido por $x_1\le x_2\le x_3\le ... \le x_{10}$ . En ese caso, los términos $x_1$ a través de $x_m$ son todas negativas para algún número entero $m\in\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ y todos los términos siguientes son no negativos.
Supongamos, entonces, que $x_k$ y $x_{k+1}$ son dos términos negativos consecutivos. A continuación vemos lo que ocurre si disminuimos $x_k$ y aumentar $x_{k+1}$ para que la suma de sus cubos sea constante:
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Debido a la curvatura de la función para argumentos negativos, incrementar o decrementar los cubos por igual impartirá cambios desiguales a los términos no cubicados: $x_{k+1}$ aumenta más que $x_k$ disminuye y, por lo tanto, la suma aumenta al alejar estos términos. Por lo tanto, para maximizar la contribución a la suma de los términos negativos, debemos alejar esos términos, empujando algunos de ellos hasta $-1$ y otros a $0$ .
Veamos ahora lo que ocurre con los términos no negativos, incluidos los que se pasaron de negativos a cero de acuerdo con la estrategia anterior:
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La función de cubicación se curva ahora en sentido contrario, de modo que si se alejan los términos no negativos, la suma de dichos términos disminuirá en lugar de aumentar. Por lo tanto, debemos igualar todos los términos no negativos para maximizar la suma.
Por lo tanto, para optimizar ambas partes de la curva S, debemos llevar todos los términos negativos a $-1$ y hacer que todos los términos restantes sean iguales. Entonces con $m$ términos negativos el resto $10-m$ vienen dados por
$x_k=[m/(10-m)]^{1/3}, k>m$
y la suma se obtiene como
$f(m)=-m+(10-m)[m/(10-m)]^{1/3}=m^{1/3}(10-m)^{2/3}-m$
A continuación, probamos las posibilidades de $m$ dado anteriormente como $m\in\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ . Descubrimos que $m=1$ da el resultado máximo, con un valor dado en el Spoiler.
Me lo perdí por mucho
¿Por qué nos acercamos al límite superior de $10/3$ y, sin embargo, al final nos quedamos cortos? Ya se ha señalado que el número de términos negativos tenía que ser un número entero, lo que limitaba los candidatos que podíamos probar. Pero, ¿y si ignoramos esta restricción? Si $m$ fuera una variable continua maximizaríamos $f(m)$ anterior fijando su derivada en cero.
Efectivamente, el valor óptimo de $m$ de este método no es un número entero. Es el número fraccionario $10/9$ . Y para $m=10/9$ Fieles a nuestra costumbre, golpeamos $f(m)=10/3$ . Al fin y al cabo, cumplimos el límite superior trigonométrico... pero sólo haciendo trampas. En el mundo real, donde $m$ tiene que ser un número entero, sólo podemos acercarnos seleccionando el número entero disponible más próximo, por lo que nos conformamos con $m=1$ y un valor de suma ligeramente inferior a nuestro ideal.
