En teoría de conjuntos ∈∈ La relación de pertenencia es la base de todo lo demás. Escribimos a∈Aa∈A para indicar que aa es un elemento del conjunto AA . Si AA es lo suficientemente pequeño podemos escribir A={x,y,z}A={x,y,z} y luego a∈Aa∈A dice que a=xa=x o a=ya=y o a=za=z . Sin embargo, a menudo los conjuntos son demasiado grandes (o demasiado generales) para que podamos escribirlos de esa manera (por ejemplo. N es un conjunto infinito).
Los elementos pueden ser números, pero también conjuntos. De hecho, en la teoría moderna de conjuntos todo es un conjunto, y podemos representar los números naturales, los números reales, etc. como conjuntos.
La colección definida A={x∣x∉x} es la colección de todos los objetos que no son miembros de sí mismos. Sin embargo, como sabemos que sólo los conjuntos tienen miembros, esto significa que es la colección de todos los conjuntos que no son miembros de sí mismos.
Se puede demostrar que A no es un conjunto. La forma de hacerlo es argumentar, si A era un conjunto, entonces A∈A y luego A es un miembro de sí mismo y por la fórmula definitoria de A tenemos que A∉A - que es una contradicción; o A∉A y luego por la propiedad definitoria de A tenemos A∈A y de nuevo obtenemos una contradicción.
La única conclusión es que A es una colección demasiado grande para llevar el título configure . Esto se conoce como Paradoja de Russell de la teoría ingenua de conjuntos, y fue una de las razones por las que se adoptaron enfoques axiomáticos para describir qué es un conjunto.
