¿Qué ocurre si se aplica el inverso izquierdo de un mapa lineal a elementos situados fuera de la imagen del mapa?

Question

Dado un mapa lineal inyectivo $A:\mathbb R^n\to\mathbb R^m$ existe un mapa lineal $\hat{A}$ que es un inverso a la izquierda de A. ¿Qué se puede decir de $\hat{A}(\mathbb R^m \backslash (Image(A))$ ?

En otras palabras, dado $ x \in \mathbb R^m$ con $x \notin Image(A)$ ¿se puede decir que $\hat{A}(x)$ es igual a $\hat{A}(y)$ donde y es la proyección ortogonal de x sobre la Imagen del mapa lineal $A$ ?

Answer 1

Hay muchas posibilidades $\hat A$ . Se diferencian exactamente en $A\hat A$ proyecta todo fuera de la imagen de $A$ en la imagen de $A$ .

Más concretamente, el núcleo de $A\hat A$ (y por tanto de $\hat A$ ) puede ser cualquier subespacio de $\Bbb R^m$ cumplir los dos requisitos

• La dimensión es $m-n$
• Se cruza con la imagen de $A$ sólo en el origen

Dado cualquier núcleo de este tipo, el resto de $A\hat A$ (y por tanto de $\hat A$ ) está determinada de forma única. Esto se debe a que para cualquier $v\in\Bbb R^m$ existe un único $a$ a imagen de $A$ y $k$ en el núcleo de $\hat A$ tal que $v=k+a$ . Esto da $A\hat A v=a$ y, por tanto $\hat Av=\hat AA\hat Av=\hat Aa$ que está determinada unívocamente por la inyectividad de $A$ .

Dejar $\hat A$ sea el inverso de Moore-Penrose corresponde efectivamente a la opción en la que el núcleo es ortogonal a la imagen. Esto se debe a que $A\hat A$ debe ser simétrico, por lo que el espacio con valor propio 1 (es decir, la imagen) debe ser ortogonal al espacio con valor propio 0 (es decir, el núcleo).

Answer 2

Supongamos que $\{e_1, \dots, e_n\}$ es una base de $\mathbb R^n$ . Por hipótesis, $\{Ae_1, \dots, Ae_n\}$ es una familia linealmente independiente de vectores de $\mathbb R^m$ . Puede complementar esta familia con $\{f_{n+1}, \dots, f_m\}$ para obtener una base $\{Ae_1, \dots, Ae_n,f_{n+1}, \dots, f_m\}$ .

Nombre $F$ el espacio lineal abarcado por $\{Ae_1, \dots, Ae_n\}$ y $G$ la que abarca $\{f_{n+1}, \dots, f_m\}$ .

$\hat{A}$ puede ser cualquier mapa lineal siempre que $\hat{A}(Ae_i) = e_i$ para $1 \le i \le n$ .

Por último, para $y \in \mathbb R^m$ , $\hat{A}(y) = \hat{A}(x)$ donde $x$ es la proyección oblicua de $y$ en $F$ utilizando la dirección $G$ .