¿Es una función suave biyectiva un difeomorfismo en casi todas partes?

Question

Supongamos que tengo $f: M \rightarrow N \in C^{\infty}$ una biyección suave entre $n$ -de las variedades lisas. ¿Tiene que ser un difeomorfismo excepto para un conjunto de medida 0?

Creo que la prueba podría venir de mostrar que $X = \{p: d_pf \text{ is not an isomorphism}\}$ tiene medida cero. Utilizando el teorema de la función inversa se puede demostrar que la afirmación se deduce de esto. Por el teorema de Sard, sabemos que $f(X)$ tiene medida cero, pero no sé cómo pasar de ahí a $X$ con medida cero (ya que no sabemos, por ejemplo, que $f^{-1}$ es localmente Lipschitz).

Puede asumir (si quiere) que $M$ y/o $N$ están conectados y/o son compactos.

Gracias.

Answer 1

Creo que la respuesta es no. Supongamos que $E\subset \mathbb R$ es cerrado, tiene medida positiva y no tiene interior (por ejemplo, $E$ podría ser el complemento de un conjunto abierto de medida pequeña que contenga los racionales).

Como es sabido, existe un $C^\infty$ función $f: \mathbb R\to [0,\infty)$ tal que $f=0$ en $E$ y $f>0$ en $\mathbb R \setminus E.$ Definir

$$F(x) = \int_0^x f(t)\, dt.$$

Si $x<y,$ entonces $F(y) - F(x) = \int_x^y f.$ Porque $f \ge 0$ y $[x,y]$ contiene un intervalo en el complemento de $E,$ esta integral es $>0,$ por lo que $F(y) > F(x).$ Así, $F,$ que es $C^\infty,$ es estrictamente creciente, por lo que es una biyección sobre $F(\mathbb R),$ un bonito intervalo abierto. Pero $F'(x) = f(x)$ en todas partes. Desde $f= 0$ en $E,$ $F$ no es un difeomorfismo local en cada punto de $E,$ un conjunto de medidas positivas.