¿Cómo puede $e^{\frac{\ln(t)}{4}} = t^{\frac14}$ ?

Question

$$e^{\frac{\ln(t)}{4}} =e^{\ln(4)} \cdot e^{\frac14} = t^4\cdot e^{\frac14}$$

Pero $t^4 \cdot e^{\frac14} \neq t^{\frac14}$ Entonces, ¿por qué la respuesta es $t^{\frac14}$ ?

Answer 1

Supongamos que $t>0$ . Entonces, $$\begin{align} e^{\frac{\ln(t)}{4}} &= e^{\ln(t^{1/4})} = t^{\frac{1}{4}}. \end{align}$$

Además, tu primera igualdad es falsa. La regla correcta es $e^{\alpha + \beta} = e^{\alpha} \cdot e^{\beta}$ NO $e^{\alpha \beta} = e^{\alpha} e^{\beta}$ .

Answer 2

Nota: $x^{a + b} = x^a \times x^b$

entonces

$\mathrm{Apply\:log\:rule}:\quad \:a^{\log _a\left(b\right)}=b$

Answer 3

Sea $x=e^{\frac{\ln t}{4}}\quad \forall \ \ x>0$

Tomando logaritmos a ambos lados,

$$\ln x=\ln e^{\frac{\ln t}{4}}$$ $$\ln x=\frac{\ln t}{4}\ln e$$ $$\ln x=\frac{\ln t}{4}$$ $$\ln x=\ln t^{1/4}$$ $$x=t^{1/4}$$ $$\therefore e^{\frac{\ln t}{4}}=t^{1/4}$$

Answer 4

Estás utilizando mal las reglas de los poderes (índices).

La regla correcta es $x^{a+b} = x^ax^b$ .

Pero la regla que hay que aplicar aquí es $x^{ab} = (x^a)^b = (x^b)^a$

Así que toma, $e^{\frac{\ln t}{4}} = e^{\ln t \cdot \frac 14} = (e^{\ln t})^{\frac 14} = t^{\frac 14}$ .

En el último paso, aplicamos $e^{\ln x} = x$ en la simplificación.

Tenga en cuenta que también puede escribir de forma equivalente $e^{\frac{\ln t}{4}} = e^{\ln t \cdot \frac 14} = (e^{\frac 14})^{\ln t}$ pero eso no es muy útil ya que no se puede simplificar más.