radio de convergencia de la función hipergeométrica

Question

Buscar información sobre el Función de Bessel existe una fórmula como $|z| \to \infty$ :

$$I_0(z) \approx \frac{e^z}{\sqrt{2\pi z}} {}_2F_0( \tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{2z}) = \frac{e^z}{\sqrt{2\pi z}} \left[ \sum_{k=0}^n \frac{(\tfrac{1}{2})_k(\tfrac{1}{2})_k}{k!}\frac{1}{(2z)^k} \right]$$

La serie infinita de la derecha no parece converger en ninguna parte, su radio de convergencia es $0$ . ¿Es posible recuperar un valor utilizando resumen del borel ?

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COMENTARIO La serie que he escrito más arriba termina y por lo tanto es equivocado . O bien podría leerse:

$$I_0(z) \approx \frac{e^z}{\sqrt{2\pi z}} {}_2F_0( \tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{2z}) = \frac{e^z}{\sqrt{2\pi z}} \left[ \sum_{k=0}^\color{red}{\mathbf{n}} \frac{(\tfrac{1}{2})_k(\tfrac{1}{2})_k}{k!}\frac{1}{(2z)^k} + O\left( \frac{1}{z^{n+1}} \right) \right]$$

Si intentamos completar la serie infinita, creo que el radio de convergencia es $0$ Por eso pregunto por la suma de Borel.

$$I_0(z) \approx \frac{e^z}{\sqrt{2\pi z}} {}_2F_0( \tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{2z}) = \frac{e^z}{\sqrt{2\pi z}} \left[ \sum_{k=0}^\color{gray}{\mathbf{\infty}} \frac{(\tfrac{1}{2})_k(\tfrac{1}{2})_k}{k!}\frac{1}{(2z)^k} \right]$$

Answer 1

En $n$ en el índice de suma debe ser un $\infty$ y la serie debe interpretarse como una expansión asintótica donde la convergencia no es una consideración.