Solución de forma cerrada para coeficientes de pendiente en regresión bivariante

Question

En una regresión univariante, $Y=a+bX+e$ la solución para la pendiente b viene dada por $COV(X,Y)/VAR(X)$ .

¿Existe una expresión similar para una regresión bivariante? $Y=a+bX+cZ+e$ . ¿Cuál es la solución de forma cerrada para b y c en este caso?

Answer 1

Sí, se llama mínimos cuadrados ordinarios (MCO) y está recogido en la mayoría de los manuales:

$$\hat{\boldsymbol\beta} = (\mathbf{X}^{\rm T}\mathbf{X})^{-1} \mathbf{X}^{\rm T}\mathbf{y}$$

donde $\hat{\boldsymbol\beta}$ y $\mathbf{X}$ son matrices y $\mathbf{y}$ es un vector. Véase también este hilo .

Answer 2

Dado $$y=\beta_1+\beta_2 x_2 + \beta_3 x_3 +\varepsilon$$ con los supuestos habituales, OLS correspondería a resolver estas ecuaciones normales

$$n \cdot b_1 + b_2 \sum x_2 + b_3 \sum x_3 = \sum y \\ b_1 \sum x_2 + b_2 \sum x_2^2 + b_3 \sum x_2 \cdot x_3= \sum x_2 \cdot y \\ b_1 \sum x_3 + b_2 \sum x_2 \cdot x_3 + b_3 \sum x_3^2= \sum x_3 \cdot y,$$

donde $n$ es el tamaño de la muestra. No creo que haya una interpretación clara como en el caso 2D.