¿Cómo funciona la sustitución trigonométrica?

Question

He leído mi libro, he visto la conferencia del MIT y he leído las notas en línea de Paul (que eran bastante inútiles, sin explicaciones, sólo ejemplos) y no tengo ni idea de lo que está pasando con esto en absoluto.

Entiendo que si necesito encontrar algo como $$\int \frac { \sqrt{9-x^2}}{x^2}dx$$

No puedo utilizar ningún otro método excepto éste. Lo que no consigo es prácticamente todo lo demás.

Es difícil visualizar los límites de la sustitución que lo mantendrán positivo, pero creo que es algo que puedo memorizar de una tabla.

Así que esto es similar a la sustitución u excepto que no estoy usando una sola variable sino expresando x en la forma de una función trigonométrica. ¿Cómo es que esto no cambia el valor del problema? A mí me parece que lo haría, algebraicamente cómo es algo como $$\int \frac { \sqrt{9-x^2}}{x^2}dx$$ lo mismo que $$\int \frac {3\cos x}{9\sin^2 x}3\cos x \, dx$$

Se siente como si fuera a poner en números para $x$ que sería una respuesta diferente.

En cualquier caso, suponiendo que funcione, no entiendo en absoluto lo que ocurre a continuación.

Para mí, "volver" a la variable original debería significar simplemente volver a introducir lo que tenías antes de la sustitución, pero por alguna razón desconocida e inexplicable esto no es cierto. Aunque en los problemas anteriores podía simplemente volver a introducir mi sustitución de $u = 2x$ , $\sin2u = \sin4x$ que funcionaba bien pero que por alguna razón ya no funciona.

No se espera que haga algunas manipulaciones trigonométricas bastante complejas con el uso de un triángulo que no sigo en absoluto, aunque por suerte este proceso no se explica en absoluto en mi libro, así que creo que sólo se supone que debo memorizarlo.

Luego cuando llega el momento de la respuesta no hay explicación alguna pero de la nada aparece el pecado inverso por alguna razón.

$$\frac {- \sqrt{9-x^2}}{x} - \sin^{-1} (x/3) +c$$

No tengo ni idea de lo que ha pasado, pero al parecer tampoco la tiene el autor, ya que no hay ninguna explicación.

Answer 1

Puede ser útil no escribir $x$ para el antes y después. Eso es engañoso. Lo que estás haciendo es escribir $x=3\sin(\theta)$ . Tú eres inventando una nueva variable $\theta$ que se refiere a $x$ de forma que te permita utilizar identidades trigonométricas para resolver tu problema. Introducir valores después de la transformación no debería te dan los mismos valores, ya que la nueva integral está en una variable diferente. Tenemos: $$x=3\sin(\theta)$$ $x$ es función de $\theta$ . Diferenciando obtenemos: $$\frac{dx}{d\theta}=3\cos(\theta) \implies dx=3\cos(\theta) d\theta$$

Así que reescribiendo la integral en términos de nuestra nueva variable, obtenemos

$$\int \frac {\sqrt{9-9\sin^2(\theta)}}{9\sin^2(\theta)}\cdot3\cos(\theta)d\theta$$

Ahora podemos utilizar las identidades trigonométricas para evaluar esta nueva integral y deshacernos de la molesta raíz cuadrada, que es la razón por la que nos molestamos con esta sustitución en primer lugar.

$$\int \frac {\sqrt{9\cos^2(\theta)}}{9\sin^2(\theta)}\cdot3\cos(\theta)d\theta$$ $$\int \frac {\cos^2(\theta)}{\sin^2(\theta)}d\theta$$ expandiendo el numerador como $1-\sin^2(\theta)$ : $$\int \csc^2(\theta)-1 d\theta$$ evaluando, obtenemos: $$-\cot(\theta)-\theta+C$$

Pero nuestra integral era en términos de $x$ . Aunque esta sustitución ha sido útil, nos hemos quedado a medio camino, ya que no sabemos qué aspecto tiene la expresión en nuestra variable original. Así que ahora tenemos que sub en nuestra variable original. $x=3\sin(\theta)$ así que para conseguir cosas en términos de $x$ nos gustaría conseguir tantos $\sin(\theta)$ s como podamos. $\cot(\theta)=\frac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)}=\frac{\sqrt{(1-\sin^2(\theta)}}{\sin(\theta)}$ . Por nuestra sustitución, $\sin(\theta)=x/3$ . Así obtenemos $$-\frac{\sqrt{1-\frac {x^2} 9}}{\frac x 3}-\theta+C$$ Todavía tenemos un $\theta$ de la que tenemos que deshacernos. Para ello, basta con invertir la sustitución. Es decir, $x=3\sin(\theta) \implies \theta=\sin^{-1}(x/3)$ . C es todavía una constante arbitraria y así puede permanecer. Después de simplificar la fracción, obtenemos: $$-\frac{\sqrt{9-x^2}}{x}-\sin^{-1}(x/3)+C$$ Que es la respuesta. Espero que esto aclare algunas cosas.

Answer 2

El siguiente teorema es útil para tenerlo en cuenta a la hora de hacer sustituciones:

Si la función $x=\phi\left(t\right)$ cumple las siguientes condiciones:

1) $\phi\left(t\right)$ es una función continua unívoca definida en el intervalo $\left[\alpha,\beta\right]$ y teniendo allí una derivada continua.

2) valores de $\phi\left(t\right)$ están contenidos en el intervalo $\left[a,b\right]$

3) $\phi\left(\alpha\right)=a$ y $\phi\left(\beta\right)=b$

Teorema. entonces para cada función $f\left(x\right)$ continua en $\left[a,b\right]$ se cumple la siguiente fórmula para el cambio de variable en una integral definida: $$\int_{a}^{b}f\left(x\right)dx=\int_{\alpha}^{\beta}f\left[\phi\left(t\right)\right]\phi'\left(t\right)dt$$

Answer 3

Debe utilizar un nombre distinto de $x$ cuando se sustituye, tal vez decir que $x=3\sin t$ . (No tiene sentido dejar que $x=3\sin x$ .) Utilización de $x$ para la sustitución es probablemente una de las grandes razones para estar confundido sobre el proceso.

Tenemos entonces $dx=3\cos t\,dt$ y $\sqrt{9-x^2}=\sqrt{9(1-\sin^2 t}=3\cos t$ . Así llegamos a $$\int \frac{\cos^2 t}{\sin^2 t}\,dt.$$ Para evaluar, utilice $\cos^2 t=1-\sin^2 t$ . Así que queremos $\int \frac{1-\sin^2 t }{\sin^2 t}\,dt$ .

Esto se simplifica a $\int \left(\frac{1}{\sin^2 t} -1\right)\,dt$ y luego a $\int(\csc^2 t-1)\,dt$ .

Ahora conviene recordar que $-\cot t$ es una antiderivada de $\csc^2 t$ . Concluimos que nuestra integral es igual a $$-\cot t + t+C.$$ Por último, queremos volver a $x$ . Recuerde que $x=3\sin t$ Así que $\sin t=x/3$ y, por lo tanto $t=\sin^{-1}(x/3)$ .

Expresar $\cot t$ en términos de $x$ Utiliza el hecho de que $\frac{\cos t}{\sin t}$ . Tenemos $\sin t=x/3$ y $\cos t=\sqrt{1-(x/3)^2}=\frac{1}{3}\sqrt{9-x^2}$ . Cuando juntamos las piezas obtenemos la expresión que has citado.

Answer 4

Imagínate esto. Deja tu ejemplo por un segundo. ¿Hay alguna manera de que usted puede escribir una ecuación donde $\sin{a} = \sqrt{1-x^{2}}$ ? ¿Introduces una x y, sea cual sea la x, puedes encontrar una a que satisfaga la ecuación? Si es así, ¡genial! Sólo hay una regla: las dos funciones deben tener el mismo rango, o deben dar como resultado la misma área de valores y, y utilizamos una variable diferente. Por ejemplo, sin(a) sólo produce números entre -1 y 1, y lo mismo ocurre con nuestra segunda ecuación. Además, no utiliza la misma variable, ¡así que vamos bien!

Si no me crees, resolvamos para a. Tomando el arcoseno se obtiene $a = \arcsin{ \sqrt{1-x^{2}}}$ . Si eliges cualquier valor de x, obtendrás un valor paraa. Si resolvieras para x, obtendrías $\sqrt{1-\sin^{2}{a}}=x$ .

Lo importante es reconocer que sólo estamos encontrando nuevas funciones para representar el mismo número.

Todo esto no es más que una forma diferente de ver la misma cifra.

La nueva variable garantiza una nueva función, y el rango equivalente garantiza que la nueva función pueda seguir produciendo los mismos números.

En la ecuación que das, cualquier valor de x mayor o igual que 3 pondría un número negativo bajo el radical. Esto también es cierto para cualquier número menor que -3, porque elevar al cuadrado elimina el negativo. Esto significa que el dominio son todos los números reales mayores que -3 pero menores que 3. ¡Qué práctico! Todo ese dominio también se encuentra en 3 cos(theta), que oscila entre -3 y 3. ¡Así que tienen el mismo rango! ¡Perfecto!

Intenta imaginártelo de otra manera. Digamos que quieres resolver la ecuación que te di, $\int x^{4} dx$ . Esto es muy fácil, pero a veces hay que hacer difíciles las cosas fáciles para hacer fáciles las difíciles. Digamos que quieres sustituir en $x=4y$ y la necesaria $dx = dy$ . ¿Puedes hacerlo? ¿Por qué no? Tienen el mismo rango: números reales. Tienen variables diferentes. Así que ¡hagámoslo!

Ahora tenemos

$ \int \left (4y \right )^{4} dy $

que es simplemente

$ \int \ 256y^{5} dy $ . Completamente sin sentido, pero ten paciencia conmigo. Esto es igual a

$ \frac{256y^{5}}{5} $

Ahora volvamos a introducir x. Nuestra ecuación original mencionaba que $x=y^{2}$ . Resolviendo para y tenemos $y=\frac{x}{4}$ . Poniendo eso en nuestra nueva ecuación tenemos nuestra nueva ecuación como

$\frac{x^{5}}{5}$ . ¿Le resulta familiar? Hemos visto que las dos únicas cosas necesarias para hacer una sustitución es que

a. tiene el mismo rango en ambos y

b. utilizas una variable diferente.

3 cos(theta) = x es lo mismo. En la ecuación referenciada tienes un rango entre -3 y 3, al igual que 3 cos(theta). Obviamente, utilizan diferentes variables, por lo que son buenos.

Answer 5

Lo que hiciste es una sustitución: $x=3\sin u$ así que $u=\arcsin\left(\frac{x}{3}\right)$ Esto es lo que se utiliza para sustituir la respuesta final. Para completar la sustitución, se utiliza $dx=3\cos u \,du$ : $$\int \frac { \sqrt{9-x^2}}{x^2}dx=\int\frac{\sqrt{9-9\sin^2u}}{9\sin^2u}3\cos u \,du=\int\frac{3\cos u}{9\sin^2u}3\cos u \,du=\int\frac{1-\sin^2 u}{\sin^2u} \,du=\int\left(\frac{1}{\sin^2u}-1\right) \,du=-\cot u-u+C$$ Ahora tienes que volver a una función de $x$ . Para que usted sustituye: $u=\arcsin\left(\frac{x}{3}\right)$ $$-\cot u-u+C=-\cot\arcsin\left(\frac{x}{3}\right)-\arcsin\left(\frac{x}{3}\right)+C$$