Sheafificación mediante hipercubiertas

Question

La sheafificación de un presheaf en un sitio se construye a menudo en un proceso de dos pasos $X^{++}$ donde $X^+$ consiste en emparejar familias en $X$ siempre está separado, y es una gavilla si $X$ está separada. Pero la sheafificación también puede construirse en un solo paso buscando familias coincidentes sobre hipercubiertas . Sin embargo, la única referencia publicada que he encontrado que menciona este último hecho es Teoría de Topos Superiores (apartado 6.5.3). Hay alguna referencia sobre los "viejos" 1-sheaves en la que se hable de la sheafificación a través de hipercubiertas?

Answer 1

No conozco ninguna referencia donde se demuestre esto en términos elementales (aunque se puede hacer, claro). Esto forma parte del folclore desde hace años (en espíritu, esto se remonta a la fórmula de Verdier en SGA 4 (exposé V) y en la tesis de Ken Brown), pero la única referencia explícita que conozco es la Proposición 7.9 (para $n=0$ ) en el documento

Dugger, Hollander e Isaksen, Hipercubiertas y presheaves simpliciales Matemáticas. Proc. Camb. Phil. Soc. 136 (2004), 9-51. (Véase aquí para una versión preimpresa).

Answer 2

Sergio me acaba de plantear esta cuestión. La definición de familia localmente compatible dice exactamente que la familia es compatible sobre un refinamiento de hipercubierta. Así que la construcción de un paso de la tesis de Yuhjtman no es más que la construcción de una hipercubierta de un paso.

Sin embargo, la hipercubierta en cuestión está determinada simplemente por una cubierta de las 1-simples $U_i \times_U U_j$ de la cubierta $U_i \to U$ por lo que parece innecesario mencionar la noción de hipercubierta. Descubrí esta construcción de un paso hace mucho tiempo, y en aquel momento ignoraba la noción de hipercubierta, que como sabemos, es mucho más complicada que el simple caso particular determinado por una cubierta de las 1-simples.
Eduardo J. Dubuc

Answer 3

Una forma de construir la gavilla asociada en un solo paso se escribe aquí: http://cms.dm.uba.ar/academico/carreras/licenciatura/tesis/yuhjtman.pdf (página 19, (3.2). La idea clave (debida a Eduardo Dubuc) es considerar "familias localmente compatibles" en lugar de simplemente "familias compatibles".

Answer 4

Deje $F$ una prehoja en un espacio topológico $X$ (todo es directamente generalizable a un sitio general).

A continuación, la gavilla separada $L(F)$ asociado se define como sigue:

$L(F)(U)$ es el colímite de los conjuntos $C^>(R, F)$ donde: $C$ es la categoría de las aperturas de $X$ , $C^>$ categoría de presheaves en $C$ y $R\subset h_U$ es un $X$ -cubierta (covering cribles) de $U$ y los colimts es todo $X$ -cubierta de $U$ y sus morfismos de inclusión.

Entonces (por el lema de Yoneda, y la representación natural de un presheaf como los colímites de representable por la categoría coma sobre él) podemos representar los elementos de $L(F)(U)$ como una clase de equivalencia de familias $[(U_i, x_i)_{i\in I}]$ con $U_i$ forman una cubierta abierta de $U$ , $x:i\in U_i$ e identificar a dos de estas familias: $(U_i, x_i)_{i\in I}$ y $(V_j, y_j)_{j\in J}$ si $\forall i, j\in I\times J: {x_i}_{|U_i\cap V_j}= {y_j}_{|U_i\cap V_j}$ .

como en el teorema habitual se deduce que $L(F)$ es una gavilla separada, es una gavilla si $F$ está separado, es isomorfo a $F$ es $F$ es una gavilla, y $LL(F)$ es la gavilla asociada a la propiedad universal canónica.

Dé un ejemplo (ad hoc) de un preshaf $F$ tal que $L(F)$ no es una gavilla (necesariamente $F$ no está separado).

Deja que la topología $\tau_X=$ { $X, U, V, A, B, A\cap B, \emptyset$ } con $X=U\cup V$ y $U\cap V=A\cup B$ .

Sea $F(X)=\emptyset=F(\emptyset)$ , $F(U)=$ { $a$ }, $F(V)=$ { $b$ } con $a_{|U\cap V}\neq b_{|U\cap V}$ pero $a_A=b_A,\ a_B=b_B, $ entonces considera $\alpha:=[(U, a)]\in LF(U),\ \beta:=[(V, b)]\in LF(V)$ tenemos que

$\alpha_{U\cap V}= \beta_{U\cap V}=[$ { $(A, a_A), (B, b_B)$ } $]$

pero $\alpha$ y $\beta$ no puede proceder de un elemento (global) de $F(X)$ .

Este ejemplo (espero ) explica la dificultad que impide $ L (F) $ ser una gavilla.

ya que si $X=U\cup V$ en general dado $s\in L(F)(U)$ , $s=[(U_i, x_i)_I]$ y $t\in L(F)(V)$ , $t=[(V_j, y_j)_J]$ ,

con $s_{|U\cap V}= t_{|U\cap V}$ a esta última condición le vendría bien un refinamiento de $(U_i\cap V)_I$ y $(V_j\cap U)_J$ y podría ser que ${s_i}_{|U_i\cap V_j} \neq {t_j}_{|U_i\cap V_j}$ pero estos son iguales en un refinamiento más strink.

Ahora bien, si en lugar de las coberturas utilizamos hipercoberturas (creo que de 3 niveles) (véase por ejemplo la definición 2.4 en Lawrence Breen "On the Classification os 2-gerbes and 2-staks" (Asterisque 225) p.38, 39) tenemos una representación más rica: $[(U_i, x_i), (U_{i,j, a})_{a\in Ai,j}]$ donde para $i, j\in I$ tenemos

$U_i\cap U_j=\bigcup_{a\in Aij}U_{i,j,a}$ y ${x_i}_{|Uija}={x_j}_{|Uija}\ a\in Aij$ .

con la relación de equavalencia natural "..coinciden en un refinamiento común".

De esta manera se superan las dificultades anteriores, y tiene una gavilla directamente al primer paso.

Answer 5

Puede que tengas suerte con el libro más reciente de Kashiaware y Schapira

Categorías y poleas. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Principios fundamentales de las ciencias matemáticas], 332. Springer-Verlag, Berlín, 2006.