¿Cuándo coinciden las nociones de espacio totalmente desconectado y espacio de dimensión cero? Por lo que deduzco, hay al menos tres nociones comunes de dimensión topológica: dimensión de cobertura, dimensión inductiva pequeña y dimensión inductiva grande. Una pregunta secundaria, por tanto, sería en qué medida y bajo qué supuestos coinciden las tres definiciones diferentes de dimensión cero. Por ejemplo, Wikipedia afirma que un espacio tiene dimensión de cobertura cero si y sólo si tiene dimensión inductiva grande cero, y que un espacio Hausdorff localmente compacto está totalmente desconectado si y sólo si es de dimensión cero, pero no puedo localizar su fuente y me gustaría entender las pruebas. Agradecería cualquier explicación, o una referencia, ya que se trata de una pregunta bastante de manual.
Respuestas
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Sólo para ponernos de acuerdo sobre la notación: Un espacio es de dimensión cero si es $T_1$ y tiene una base formada por conjuntos cerrados, y totalmente desconectada si los cuasicomponentes de todos los puntos (intersecciones de todos los vecindarios cerrados) son singletons. Un espacio es hereditariamente desconectado si ningún subespacio está conectado, es decir, si las componentes de todos los puntos son singletons. (Edición: Parece que hay desacuerdo sobre los nombres de estas propiedades. A menudo lo que yo llamo hereditariamente desconectado se llama totalmente desconectado y lo que yo llamo totalmente desconectado se llama entonces totalmente separado).
Obsérvese que la dimensionalidad cero implica la hausdorfidad. Cero dimensional implica totalmente desconectado ya que cada punto puede ser separado de cualquier otro punto por un conjunto cerrado.
Totalmente desconectado implica hereditariamente desconectado: dado un conjunto $A$ con al menos dos puntos, un punto no está en el cuasicomponente del otro y, por tanto, los dos puntos pueden estar separados por un conjunto cerrado. Por lo tanto, el conjunto $A$ no está conectado. Esto demuestra que el espacio es hereditariamente desconectado.
Por otra parte, si $X$ es localmente compacta y hereditariamente desconectada, tomemos $x\in X$ y que $U$ sea un conjunto abierto que contenga $x$ .
Por compacidad local, encontrar un vecindario abierto $V\subseteq U$ de $x$ cuyo cierre $\overline V$ es compacto.
En un espacio compacto, las componentes y las cuasicomponentes coinciden y, por tanto, la cuasicomponente de $x$ en $\overline V$ es $\{x\}$ (no lo necesitas si no te interesan los espacios desconectados hereditarios, sino sólo los totalmente desconectados). Usando la compacidad de nuevo, hay finitamente muchos subconjuntos clopen $C_1\dots,C_n$ de $\overline V$ tal que $x\in C_1\cap\dots\cap C_n\subseteq V$ . La intersección del $C_i$ está cerrado en $X$ ya que esta intersección es compacta. Es abierta en $X$ ya que está abierto en $V$ y $V$ está abierto en $X$ .
Esto demuestra que los subconjuntos cerrados de $X$ forman una base.
Por lo tanto $X$ es de dimensión cero.
Edito: Como sugirió Joseph Van Name, incluyo una prueba de que en un espacio compacto las componentes coinciden con las cuasicomponentes.
Sea $X$ sea un espacio compacto y $x\in X$ . El componente $C$ de $x$ es la unión de todos los subconjuntos conexos de $X$ que contiene $x$ . Si $A\subseteq X$ es cerrado y $x\in A$ entonces el componente de $x$ se encuentra en $A$ . De ello se deduce que el componente de $x$ está contenido en el cuasicomponente $Q$ de $x$ .
Para demostrar que el componente $C$ y el cuasicomponente $Q$ coinciden, ahora basta con demostrar que $Q$ está conectado. Obsérvese que $Q$ está cerrado en $X$ y, por tanto, compacta. Supongamos ahora que $Q$ no está conectado. Entonces hay subs relativamente abiertos $A$ y $B$ de $Q$ tal que $A\cap B=\emptyset$ y $A\cup B=Q$ . Tenga en cuenta que $A$ y $B$ son relativamente cerradas en $Q$ y, por tanto, compacta. Por lo tanto $A$ y $B$ se cierran en $X$ .
Dos conjuntos cerrados disjuntos en un espacio compacto pueden estar separados por subconjuntos abiertos, es decir, hay conjuntos abiertos disjuntos $U,V\subseteq X$ tal que $A\subseteq U$ y $B\subseteq V$ .
Tenemos $$Q=\bigcap\{F\subseteq X:F\mbox{ is clopen and }x\in F\}$$ y así $$\bigcap\{F\subseteq X:F\mbox{ is clopen and }x\in F\}\cap(X\setminus(U\cup V))=\emptyset.$$ Por compacidad hay un número finito de conjuntos cerrados $F_1,\dots,F_n$ que contiene $x$ tal que $$F_1\cap\dots\cap F_n\cap(X\setminus(U\cup V))=\emptyset.$$ Sea $F=F_1\cap\dots\cap F_n$ .
$F$ es cerrado y tenemos $Q\subseteq F\subseteq U\cup V$ .
Tenemos $$\overline{U\cap F}\subseteq\overline U\cap F=\overline U\cap(U\cup V)\cap F=U\cap F.$$ De ello se deduce que $U\cap F$ es cerrado en $X$ . Podemos suponer $x\in A$ . Desde $B$ no es vacío, existe algún $y\in B$ . Pero ahora $y\not\in U\cap F$ . De ello se deduce que $y$ no está en el cuasicomponente de $x$ , una contradicción.
Siguiendo la sugerencia de Victor Protsak, tomé la respuesta a esta pregunta y la convertí en un artículo que se encuentra aquí Ultraparacompacidad y ultranormalidad por lo que puede ser más fácil leer ese documento que leer la respuesta aquí en MO.
Las nociones que se buscan son la ultraparacompacticidad (dimensión de cobertura según cómo se defina), la ultranormalidad (gran dimensión inductiva cero) y, por supuesto, la noción de espacio de dimensión cero (pequeña dimensión inductiva cero). Un espacio de Hausdorff $X$ se dice que es ultraparacompacto si cada cubierta abierta puede ser refinada por una partición en conjuntos clopen. Cabe señalar que parece haber cierto desacuerdo sobre la definición de dimensión de cobertura, ya que algunas personas requieren que su cobertura original sea finita y otras consideran coberturas arbitrarias, por lo que la noción de ultraparacompacticidad puede o no coincidir con la noción de dimensión de cobertura cero. Parece que la práctica estándar, aunque no universal, es definir la dimensión de cobertura en términos de coberturas finitas. Los espacios con gran dimensión inductiva cero se conocen como espacios ultranormales. En otras palabras, un espacio de Hausdorff es ultranormal si y sólo si siempre que $R,S$ son conjuntos cerrados disjuntos, existe un conjunto cerrado $C$ con $R\subseteq C,S\subseteq C^{c}$ . La ultraparacompacidad, la ultranormalidad y la dimensionalidad cero son los análogos de dimensión cero de las nociones de paracompacidad, normalidad y regularidad. Muchas de las nociones y resultados de la topología general tienen nociones y resultados análogos en dimensión cero. Es evidente que todo espacio ultraparacompacto es paracompacto y que todo espacio ultranormal es normal. Es fácil ver que todo espacio ultraparacompacto es ultranormal y que todo espacio ultranormal es de dimensión cero. Sin embargo, las conversiones no se cumplen.
$\large\mathbf{Examples}$
Todo espacio compacto totalmente desconectado es ultraparacompacto y, por tanto, también ultranormal.
El espacio $\omega_{1}$ de todos los ordinales contables con la topología de orden es ultranormal. Si $R,S$ son dos subconjuntos cerrados disjuntos de $\omega_{1}$ entonces $R$ o $S$ está acotada, por lo que $R$ está limitada por un ordinal $\alpha$ . Entonces, como $[0,\alpha]$ es compacto y de dimensión cero, el conjunto $[0,\alpha]$ es ultranormal. Por tanto, existe un subconjunto cerrado $C\subseteq[0,\alpha]$ con $R\subseteq C$ y $S\cap C=\emptyset$ . Sin embargo, el conjunto $C$ es cerrado en $\omega_{1}$ también. Por lo tanto $\omega_{1}$ es ultranormal. Por el contrario, el espacio $\omega_{1}$ ni siquiera es paracompacta. La cubierta $\{[0,\alpha)|\alpha<\omega_{1}\}$ sin embargo no tiene un refinamiento abierto localmente finito ya que si $\mathcal{U}$ es un refinamiento abierto de $[0,\alpha)$ para cada $\alpha<\omega_{1}$ hay algo de $x_{\alpha}<\alpha$ donde $(x_{\alpha},\alpha]\subseteq U$ para algunos $U\in\mathcal{U}$ . Sin embargo, dado que la asignación $\alpha\mapsto x_{\alpha}$ es regresivo, cualquiera que sepa algo de teoría de conjuntos puede decir que hay un ordinal $\beta$ donde $x_{\alpha}=\beta$ para incontables $\alpha$ . Desde $\mathcal{U}$ refina $\{[0,\alpha)|\alpha<\omega_{1}\}$ Cada $U\in\mathcal{U}$ está acotado, por lo que el ordinal $\beta$ debe estar contenida en incontables $U\in\mathcal{U}$ .
Consideremos ahora el espacio $\mathbb{R}$ con la topología de límite inferior. En otras palabras, con esta topología, $\mathbb{R}$ está generada por la base $\{[a,b)|a<b\}$ . Entonces $[0,\infty)$ es un espacio ultraparacompacto con esta topología. Sea $\mathcal{U}$ sea una cubierta abierta de $[0,\infty)$ . Sea $x_{0}=0$ . Si $\alpha$ es un ordinal y $\sup\{x_{\beta}|\beta<\alpha\}<\infty$ entonces $x_{\alpha}$ sea un número real tal que $x_{\alpha}>\sup\{x_{\beta}|\beta<\alpha\}$ y $[\sup\{x_{\beta}|\beta<\alpha\},x_{\alpha})\subseteq U$ para algunos $U\in\mathcal{U}$ . Entonces $\{[x_{\alpha},x_{\alpha+1})|\alpha\}$ es una partición de $[0,\infty)$ en conjuntos cerrados que refinan $\mathcal{U}$ . Así, $[0,\infty)$ es ultraparacompacto. El espacio $\mathbb{R}$ con la topología del límite inferior es también ultraparacompacta ya que $\mathbb{R}$ es isomorfo a la suma contable de espacios $[0,\infty)$ con la topología de límite inferior. Sin embargo, es un contraejemplo bien conocido que el producto $\mathbb{R}\times\mathbb{R}$ ni siquiera es normal. Concluimos que $\mathbb{R}\times\mathbb{R}$ es un espacio de dimensión cero que no es ultranormal.
En el artículo Nonequality of Dimensions for Metric Spaces, Prabir Roy muestra que ciertos espacios $\Delta$ es un espacio métrico completo de cardinalidad continua que es de dimensión cero, pero no ultranormal y, por tanto, no ultraparacompacto. De hecho, más adelante en el documento No todo espacio realcompacto de dimensión 0 es $\mathbb{N}$ -compacto, Peter Nyikos muestra que este espacio ni siquiera es $\mathbb{N}$ -compacto (un espacio es $\mathbb{N}$ -compacto si y sólo si puede incrustarse como un subespacio cerrado de un producto $\mathbb{N}^{I}$ para algún conjunto $I$ ). Este resultado refuerza el resultado de Roy ya que todo espacio ultraparacompacto de cardinalidad no mensurable es $\mathbb{N}$ -y el primer cardinal medible es terriblemente grande, si es que existe.
Una métrica $d$ en un conjunto $X$ se dice que es un ultramétrico si $d$ satisface la desigualdad triangular fuerte: $d(x,z)\leq Max(d(x,y),d(y,z))$ y un espacio métrico $(X,d)$ se dice que es un espacio ultramétrico si $d$ es un ultramétrico. Todo espacio ultramétrico es ultraparacompacto.
Existen espacios localmente compactos de dimensión cero que no son ultranormales. El tablón de Tychonoff $X:=((\omega_{1}+1)\times(\omega+1))\setminus\{(\omega_{1},\omega)\}$ es cero-dimensional (incluso fuertemente cero-dimensional; es decir. $\beta X$ es de dimensión cero) pero no ultranormal.
$\large\mathbf{Results}$
Un subconjunto $Z$ de un espacio $X$ se dice que es un conjunto cero si existe una función continua $f:X\rightarrow[0,1]$ tal que $Z=f^{-1}[\{0\}]$ . Un espacio completamente regular $X$ se dice que es fuertemente cero-dimensional si siempre que $Z_{1},Z_{2}$ son conjuntos cero disjuntos, existe un conjunto cerrado $C$ con $Z_{1}\subseteq C$ y $Z_{2}\subseteq C^{c}$ . No es demasiado difícil demostrar que un espacio completamente regular $X$ es fuertemente cero-dimensional si y sólo si la compactificación Stone-Cech $\beta X$ es de dimensión cero. Decimos que una cubierta $\mathcal{R} $ de un espacio topológico $X$ es punto-finito si $\{R\in\mathcal{R}|x\in R\}$ es finito para cada $x\in X$ y decimos que $\mathcal{R}$ es localmente finito si cada $x\in X$ tiene un barrio $U$ tal que $\{R\in\mathcal{R}|U\cap R\neq\emptyset\}$ es finito. Recordemos que un espacio Hausdorff es paracompacto si toda cubierta abierta tiene un refinamiento abierto localmente finito.
Un espacio uniforme $(X,\mathcal{U})$ se dice que no es arquimediana si $\mathcal{U}$ está generado por relaciones de equivalencia. En otras palabras, para cada $R\in\mathcal{U}$ existe una relación de equivalencia $E\in\mathcal{U}$ con $E\subseteq R$ . Es evidente que todo espacio uniforme no arquimediano es de dimensión cero. Si $(X,\mathcal{U})$ es un espacio uniforme, entonces $H(X)$ denota el conjunto de todos los subconjuntos cerrados de $X$ . Si $E\in\mathcal{U}$ entonces $\hat{E}$ sea la relación sobre $H(X)$ donde $(C,D)\in\hat{E}$ sólo si $C\subseteq E[D]=\{y\in X|(x,y)\in E\textrm{for some}x\in D\}$ y $D\subseteq E[C]$ . Entonces el sistema $\{\hat{E}|E\in\mathcal{U}\}$ genera una uniformidad $\hat{\mathcal{U}}$ en $H(X)$ llamada uniformidad hiperespacial. Un espacio uniforme $(X,\mathcal{U})$ se dice que es supercompleto si el hiperespacio $H(X)$ es un espacio uniforme completo.
$\mathbf{Proposition}$ Sea $X$ sea un espacio de dimensión cero localmente compacto. Entonces $X$ es ultraparacompacto si y sólo si $X$ puede dividirse en una familia de conjuntos abiertos compactos.
$\mathbf{Proof}$ La dirección $\leftarrow$ es bastante trivial. Para demostrar $\rightarrow$ suponga que $X$ es un espacio de dimensión cero localmente compacto. Entonces $\mathcal{U}$ la colección de todos los conjuntos abiertos $U$ tal que $\overline{U}$ es compacto. Entonces, como $X$ es localmente compacta, $\mathcal{U}$ es una tapadera para $X$ . Por lo tanto, existe una partición $P$ de $X$ en conjuntos cerrados que refinan $\mathcal{U}$ . Claramente cada $R\in P$ es un subconjunto abierto compacto de $X$ . $\textrm{QED}$
$\textbf{Theorem}$ Sea $X$ sea un espacio de Hausdorff. Entonces $X$ es normal si y sólo si siempre que $(U_{\alpha})_{\alpha\in\mathcal{A}}$ es un recubrimiento abierto punto-finito de $X$ hay una cobertura abierta $(V_{\alpha})_{\alpha\in\mathcal{A}}$ tal que $\overline{V_{\alpha}}\subseteq U_{\alpha}$ para $\alpha\in\mathcal{A}$ y $V_{\alpha}\neq\emptyset$ siempre que $U_{\alpha}\neq\emptyset$ .///
Para demostrar el resultado anterior, primero se ordena bien el conjunto $\mathcal{A}$ entonces se reducen los conjuntos $U_{\alpha}$ a conjuntos $V_{\alpha}$ de tal manera que usted todavía cubre su espacio $X$ en cada momento del proceso de inducción. Véase el libro Topology de James Dugundji para una demostración del resultado anterior.
$\textbf{Theorem}$ Sea $X$ sea un espacio de Hausdorff. Los siguientes son equivalentes.
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$X$ es ultranormal.
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En $(U_{\alpha})_{\alpha\in\mathcal{A}}$ es una cubierta abierta punto-finito de $X$ existe una cubierta cerrada $(V_{\alpha})_{\alpha\in\mathcal{A}}$ tal que $V_{\alpha}\subseteq U_{\alpha}$ para cada $\alpha$ y $V_{\alpha}\neq\emptyset$ siempre que $U_{\alpha}\neq\emptyset$ .
-
Si $(U_{\alpha})_{\alpha\in\mathcal{A}}$ es una cubierta abierta localmente finita de $X$ entonces existe el sistema $(P_{\alpha})_{\alpha\in\mathcal{A}}$ de conjuntos cerrados tales que $P_{\alpha}\subseteq U_{\alpha}$ para $\alpha\in\mathcal{A}$ y $P_{\alpha}\cap P_{\beta}=\emptyset$ siempre que $\alpha,\beta\in\mathcal{A}$ y $\alpha\neq\beta$ .
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$X$ es normal y fuertemente cero-dimensional.
$\textbf{Proof}$ $1\rightarrow 2$ . Desde $X$ es normal, hay una tapa abierta $(W_{\alpha})_{\alpha\in\mathcal{A}}$ tal que $\overline{W_{\alpha}}\subseteq U_{\alpha}$ para cada $\alpha\in\mathcal{A}$ y $W_{\alpha}\neq\emptyset$ siempre que $U_{\alpha}\neq\emptyset$ . Desde $X$ es ultranormal, para cada $\alpha\in\mathcal{A}$ existe un conjunto cerrado $V_{\alpha}$ con $\overline{W_{\alpha}}\subseteq V_{\alpha}\subseteq U_{\alpha}$ .
$2\rightarrow 3$ . Supongamos ahora que $(U_{\alpha})_{\alpha\in\mathcal{A}}$ es un sobre abierto localmente finito de $X$ . Sea $(V_{\alpha})_{\alpha\in\mathcal{A}}$ sea una cubierta cerrada de $X$ tal que $V_{\alpha}\subseteq U_{\alpha}$ para cada $\alpha\in\mathcal{A}$ . Bueno pedir el conjunto $\mathcal{A}$ . La familia $(V_{\alpha})_{\alpha\in\mathcal{A}}$ es localmente finito, por lo que como cada $V_{\alpha}$ es cerrado, para cada $\alpha\in\mathcal{A}$ la unión $\bigcup_{\beta<\alpha}V_{\beta}$ está cerrado. Claramente $\bigcup_{\beta<\alpha}V_{\beta}$ también está abierto, por lo que $\bigcup_{\beta<\alpha}V_{\beta}$ es cerrado. Sea $P_{\alpha}=V_{\alpha}\setminus(\bigcup_{\beta<\alpha}V_{\beta})$ . Entonces $(P_{\alpha})_{\alpha\in\mathcal{A}}$ es la partición necesaria de $X$ en conjuntos cerrados.
$3\rightarrow 1,1\rightarrow 4$ . Esto es bastante obvio.
$4\rightarrow 1$ . Se trata de una consecuencia trivial del lema de Urysohn.
$\textbf{QED}$
$\textbf{Theorem}$ Sea $X$ sea un espacio de Hausdorff. Los siguientes son equivalentes.
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$X$ es ultraparacompacto.
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$X$ es ultranormal y paracompacto.
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$X$ es fuertemente cero-dimensional y paracompacta.
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Cada portada abierta de $X$ tiene un refinamiento cerrado localmente finito.
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$X$ es de dimensión cero y satisface la siguiente propiedad: sea $I$ sea un ideal en el álgebra booleana $\mathfrak{B}(X)$ de subconjuntos cerrados de $X$ tal que $\bigcup I=X$ y si $P$ es una partición de $X$ en conjuntos cerrados, entonces $\bigcup(P\cap I)\in I$ . Entonces $I=\mathfrak{B}(X)$ .
-
$X$ tiene una uniformidad no arquimediana supercompleta compatible. ///
El periódico $\omega_{\mu}$ -de Giuliano Artico y Roberto Moresco da varias caracterizaciones de cuándo un $P_{\kappa}$ -(un espacio en el que la intersección de menos de $\kappa$ muchos conjuntos abiertos es abierto) es ultraparacompacto.
$\large\textbf{The Point-Free Context}$ .
Los siguientes resultados sobre la dimensionalidad cero, la ultranormalidad y la ultraparacompacidad forman parte de mi propia investigación. Si crees que ya he escrito demasiado, no te gusto, o si no crees en la topología sin sentido, entonces te sugiero que dejes de leer esta respuesta aquí.
Las nociones de ultranormalidad, dimensionalidad cero y ultraparacompacticidad tienen sentido en un contexto libre de puntos, y por una generalización de la dualidad de Stone, las nociones de ultranormalidad, dimensionalidad cero y ultraparacompacticidad se traducen bien a ciertos tipos de álgebras booleanas con estructura extra.
Un marco es un entramado completo que satisface la siguiente ley de distributividad infinita $$x\wedge\bigvee_{i\in I}y_{i}=\bigvee_{i\in I}(x\wedge y_{i}).$$ Si $X$ es un espacio topológico, entonces la colección de todos los subconjuntos abiertos de $X$ forma un marco. Los marcos generalizan la noción de espacio topológico, y los marcos son el objeto central de estudio de la topología sin puntos. En el caso de los espacios de Hausdorff, no se pierde información por el mero hecho de considerar el entramado de conjuntos abiertos del espacio topológico. Más concretamente, si $X,Y$ son espacios de Hausdorff y las redes de conjuntos abiertos de $X$ y $Y$ respectivamente son isomorfas, entonces $X$ y $Y$ son a su vez isomorfas. Además, muchas nociones y teoremas de la topología general pueden generalizarse al contexto libre de puntos. Por otra parte, la noción de marco es muy interesante desde una perspectiva puramente teórica de la red, sin tener siquiera en cuenta la perspectiva topológica. Se remite al lector al excelente libro Frames and Locales: Topology Without Points de Picado y Pultr para más información sobre topología sin puntos.
Por notación, si $X$ es un poset y $R,S\subseteq X$ entonces $R$ refina $S$ (escrito $R\preceq S$ ) si para cada $r\in R$ hay algo de $s\in S$ con $r\leq s$ . Si $x\in X$ defina $\downarrow x:=\{y\in X|y\leq x\}$ .
Un sistema booleano de admisibilidad es un par $(B,\mathcal{A})$ tal que $B$ es un álgebra booleana y $\mathcal{A}$ es una colección de subconjuntos de $B$ con límites superiores mínimos tales que
i. $\mathcal{A}$ contiene todos los subconjuntos finitos de $B$ ,
ii. si $R\in\mathcal{A},S\subseteq\downarrow\bigvee R,R\preceq S$ entonces $S\in\mathcal{A}$ también,
iii. si $R\in\mathcal{A}$ y $R_{r}\in\mathcal{A},\bigvee R_{r}=r$ para $r\in R$ entonces $\bigcup_{r\in R}R_{r}\in\mathcal{A}$ ,
iv. si $R\in\mathcal{A}$ entonces $\{a\wedge r|r\in R\}\in\mathcal{A}$ también.
Intuitivamente, un sistema de admisibilidad booleano es un álgebra booleana junto con una noción de qué límites mínimos superiores son importantes y qué límites mínimos superiores no son importantes.
Por ejemplo, si $B$ es un álgebra booleana, y $\mathcal{A}$ es la colección de todos los subconjuntos de $B$ con límites superiores mínimos, entonces $(B,\mathcal{A})$ es un sistema booleano de admisibilidad.
Si $A$ es una subálgebra booleana de $B$ y $\mathcal{A}$ es la colección de todos los subconjuntos de $R$ donde el límite superior mínimo $\bigvee^{B}R$ existe en $B$ y $\bigvee^{B}R\in A$ . Entonces $(A,\mathcal{A})$ es un sistema booleano de admisibilidad.
Un sistema booleano de admisibilidad $(B,\mathcal{A})$ se dice que es subcompleta si siempre que $R,S\subseteq B$ y $R\cup S\in\mathcal{A}$ y $r\wedge s=\emptyset$ siempre que $r\in R,s\in S$ entonces $R\in\mathcal{A}$ y $S\in\mathcal{A}$ .
Si $L$ es un marco, entonces un elemento $x\in L$ se dice complementada si existe un elemento $y$ tal que $x\wedge y=0$ y $x\vee y=1$ . El elemento $y$ se dice que es el complemento de $y$ y se puede demostrar fácilmente que el elemento $y$ es único. La noción de elemento complementado es la generalización sin puntos de la noción de conjunto cerrado. Sea $\mathfrak{B}(L)$ denota el conjunto de elementos complementados en $L$ . Entonces $\mathfrak{B}(L)$ es una subred de $L$ . De hecho, $\mathfrak{B}(L)$ es una red booleana. Un marco $L$ se dice que es de dimensión cero si $x=\bigvee\{y\in\mathfrak{B}(L)|y\leq x\}$ para cada $x\in L$ .
Un marco basado en Boole es un par $(L,B)$ donde $L$ es un marco y $B$ es una subálgebra booleana de $\mathfrak{B}(L)$ tal que $x=\bigvee\{b\in\mathfrak{B}(L)|b\leq x\}$ para cada $x\in L$ . Es evidente que todo marco basado en Boole es de dimensión cero.
Un marco de dimensión cero $L$ se dice que es ultranormal si siempre que $a\vee b=1$ existe un elemento complementado $c\in L$ tal que $c\leq a$ y $c'\leq b$ .
La cubierta de un marco $L$ es un subconjunto $C\subseteq L$ con $\bigvee C=1$ . Una partición de un marco $L$ es un subconjunto $p\subseteq L\setminus\{0\}$ con $\bigvee p=1$ y donde $a\wedge b=0$ siempre que $a,b\in p,a\neq b$ .
Un marco de dimensión cero $L$ se dice que es ultraparacompacto si siempre que $C$ es una cubierta de $L$ hay una partición $p$ que refina $C$ .
Existe una dualidad entre la categoría de los sistemas de admisibilidad booleanos y los marcos basados en Boole. Si $(B,\mathcal{A})$ es un sistema booleano de admisibilidad, entonces sea $C_{\mathcal{A}}$ sea el conjunto de todos los ideales $I\subseteq B$ tal que si $R\in\mathcal{A}$ y $R\subseteq I$ entonces $\bigvee R\in I$ también.
Si $(B,\mathcal{A})$ es un sistema booleano de admisibilidad, entonces $\mathcal{V}(B,\mathcal{A}):=(C_{\mathcal{A}},\{\downarrow b|b\in B\})$ es un marco basado en booleanos. Del mismo modo, si $(L,A)$ es un marco de base booleana, entonces $\mathcal{W}(L,A):=(A,\{R\subseteq A|\bigvee^{L}R\in A\})$ es un sistema booleano de admisibilidad. Además, estas correspondencias dan una equivalencia entre la categoría de los sistemas de admisibilidad booleanos y la categoría de los marcos basados en Boole. Por lo tanto, obtenemos un tipo de dualidad de Stone para los marcos de dimensión cero. Si $(L,A)$ es un marco de base booleana, entonces $A=\mathfrak{B}(L)$ sólo si $\mathcal{W}(L,A)$ es subcompleta. Dado que $(L,\mathfrak{B}(L))$ es un marco de base booleana si $L$ es un marco de dimensión cero, concluimos que la categoría de marcos de dimensión cero es equivalente a la categoría de sistemas de admisibilidad booleanos subcompletos.
Si $(B,\mathcal{A})$ es un sistema booleano de admisibilidad, entonces $ \mathcal{V}(B,\mathcal{A})=(C_{\mathcal{A}},\{\downarrow b|b\in B\})$ es ultranormal con $\{\downarrow b|b\in B\}=\mathfrak{B}(C_{\mathcal{A}})$ si y sólo si siempre que $I,J\in\mathcal{C}_{\mathcal{A}}$ entonces $\{a\vee b|a\in I,b\in J\}\in\mathcal{C}_{\mathcal{A}}$ también. Por lo tanto, ultranormalidad significa simplemente que la unión de finitamente muchos ideales en $\mathcal{C}_{\mathcal{A}}$ es un ideal en $\mathcal{C}_{\mathcal{A}}$ .
Si $(B,\mathcal{A})$ es un sistema de admisibilidad booleano subcompleto, entonces $\mathcal{V}(B,\mathcal{A})$ es ultraparacompacto si y sólo si siempre que $R\in\mathcal{A}$ hay algo de $S\in\mathcal{A}$ con $S\preceq R,\bigvee S=\bigvee R$ y $a\wedge b=0$ siempre que $a,b\in S$ y $a\neq b$ . Por lo tanto, la ultraparacompacidad de los marcos se traduce en una versión de la ultraparacompacidad en los sistemas duales de admisibilidad booleanos subcompletos.
Aquí sólo hay una referencia que muestra que un espacio Hausdorff localmente compacto totalmente desconectado es de dimensión cero: Proposición 3.1.7 de Arhangel'skii y Tkachenko .
La respuesta a la segunda pregunta es "no". En este documento J. Terasawa construyó espacios de la forma $\omega\cup\mathcal{A}$ donde $\mathcal{A}$ es una familia máxima casi disjunta, de dimensión de recubrimiento arbitrariamente grande, incluso infinita. Puntos en $\omega$ son barrios aislados y básicos de $A\in\mathcal{A}$ son de la forma $\lbrace A\rbrace\cup (A\setminus F)$ donde $F$ es finito. Este espacio es siempre Hausdorff, localmente compacto y de dimensión cero, pero su dimensión de cobertura depende de $\mathcal{A}$ .
Para añadir una referencia más, me gusta el tratamiento que se da en el libro de Hurewicz y Wallman (Teoría de las dimensiones) . En particular, en el capítulo II se trata la teoría de conjuntos de dimensión 0 con bastante generalidad y ejemplos.
