Sea $\Omega \subseteq \mathbb{R}^n$ sea un conjunto abierto no vacío, y $\mathcal{D}(\Omega)$ el espacio de funciones de prueba (es decir, funciones infinitamente diferenciables $f:\Omega \rightarrow \mathbb{C}$ con soporte compacto contenido en $\Omega$ ), con la habitual definida mediante el límite inductivo de los espacios de Fréchet (véase Distribución o cualquier buen libro que trate de distribuciones como Rudin, Functional Analysis, o Reed y Simon, Methods of Mathematical Physics, Volume I o el maravilloso Schwartz, Théorie des Distributions).
Ahora, recordemos que un espacio topológico $X$ se denomina espacio de Fréchet-Urysohn si para cada $A \subseteq X$ el cierre de $A$ coincide con el cierre secuencial $[A]_{seq}$ de $A$ que se define como \begin{equation} [A]_{seq} = \{ x \in X : \exists (a_j)_{j=0}^{\infty} : a_j \rightarrow x \textrm{ and } a_j \in A \textrm{ for } j=0,1,2,\dots \}. \end{equation} Un conjunto $A \subseteq X$ para lo cual $A= [A]_{seq}$ se denomina secuencialmente cerrada. Obsérvese que todo conjunto cerrado $A$ es secuencialmente cerrado. Si también es cierta la inversa, es decir, si todo conjunto secuencialmente cerrado resulta ser cerrado, el espacio $X$ se denomina espacio secuencial (véase Espacio secuencial para más detalles y referencias sobre los espacios secuenciales). Es evidente que todo espacio de Fréchet-Urysohn es un espacio secuencial, pero lo contrario no es cierto (véase el post Comprender dos definiciones similares ).
Con esta terminología podemos preguntarnos: ¿es $\mathcal{D}(\Omega)$ ¿un espacio Fréchet-Urysohn? ¿Es un espacio secuencial?
La respuesta a estas dos preguntas es negativa, como demostraré a continuación. He publicado la pregunta aquí sólo para compartir este resultado con la comunidad de math.stackexchange.com, ya que no pude encontrar la respuesta en ningún libro que consulté.
