Derivada de función definida sólo sobre números racionales

Question

Sea $f:\mathbb{Q}\to\mathbb{R}$ sea uniformemente continua y supongamos que $f':\mathbb{Q}\to\mathbb{R}$ también es uniformemente continua. Sea $a$ sea un número irracional. Necesito ayuda para demostrar que

$$\lim_{q\to a}f'(q)=\lim_{q\to a}\frac{(\lim_{p\to a}f(p))-f(q)}{a-q}$$

Motivación de la pregunta: $f'(a)$ no existe, pero tanto el lado izquierdo como el derecho de la ecuación son un sustituto intuitivamente razonable: en el LHS primero diferenciamos y luego tomamos el límite a $a$ y en el lado derecho tomamos primero el límite a $a$ y luego diferenciar. Por lo tanto, sería bueno demostrar que son iguales.

Answer 1

Resulta que hay una muy buena razón por la que no pude demostrarlo: ¡la proposición es falsa! Función_marca_de_pregunta_de_Minkowski es un contraejemplo. Para todos los racionales $q$ , $f'(q)$ es $0$ por lo que el LHS de mi ecuación también es siempre $0$ . Pero hay irracionales $a$ tal que el RHS no lo es.