¿Es válida esta afirmación relacionada con el postulado de Bertrand?

Question

El postulado de Bertrand dice:

Por cada $n>1$ siempre hay al menos un primo $p$ tal que $n<p<2n$ .

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Es la siguiente afirmación:

Por cada $n>3$ siempre hay al menos un primo $p$ tal que $F_n<p<F_{n+1}$ ( $F_n$ es $n$ -enésimo número de Fibonacci).

¿también es válido?

Si no es válida, ¿existe un número finito o infinito de $n$ s tal que no haya ningún primo entre $F_n$ y $F_{n+1}$ ?

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Esta pregunta se inspira en otra. Intuyo que puede ser interesante, pero no tengo suficientes conocimientos de teoría de números para abordarla.

Answer 1

La conjetura es cierta.

A partir de un resultado de Nagura para $n\ge 25$ siempre hay un primo entre $n$ y $1.2n$ . Tenga en cuenta que $F_9=34$ , $F_{10}=55$ y su relación es $1.617>1.2$ . De hecho, para todos los $n\ge 9$ podemos demostrar que $\frac{F_{n+1}}{F_n}>1.2$ (*). Por lo tanto, la combinación de estos resultados da un primo entre $F_n$ y $F_{n+1}$ para todos $n\ge 9$ . Sólo queda comprobar los números menores de Fibonacci.

(*) La proporción se aproxima $\phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\approx 1.6$ como límite, y con bastante rapidez.