¿Homología singular/cohomología como functor derivado?

Question

Hola, Aprendiendo algo de Alg.geometry y Sheaf theory, me acostumbré a la noción de que la cohomología surge naturalmente como un functor derivado de algún tipo.

Esto me ha llevado a pensar, que la cohomología singular, de la topología algebraica, nunca se definió (En todos los libros que he consultado) como un functor derivado, sino simplemente dando ciclos y límites. No he podido averiguar por mí mismo ningún functor razonable cuyos funtores derivados den cohomología singular, así que planteo esta pregunta aquí.

Espero que esto arroje algo más de luz sobre lo que mide realmente la cohomología singular.

Gracias

Answer 1

Abundando un poco en el comentario de Qiaochu Yuan, si X es "suficientemente agradable" y $\mathcal{R}$ es la gavilla constante con tallos en $R$ entonces la cohomología singular coincide con el functor derivado del functor de sección global: $H^\ast(X;\mathcal{R})\cong H^\ast(X;R)$ . Este resultado está disperso por todo el libro de Bredon sobre teoría de gavillas, aunque reconozco que no es superintuitivo. Alternativamente, no es difícil mostrar la sheafificación del complejo de pre gavillas de co-cadenas singulares $U\to C^\ast(U;R)$ es una resolución de $\mathcal{R}$ y puede demostrarse que es homotópicamente fina, por un argumento dual a la prueba de que el complejo de gavillas de cadenas singulares es homotópicamente fino. Además, la preforma de co-cadenas es conjuntiva y, aunque no es una mono-forma, la cohomología con soportes cero de la preforma de co-cadenas es trival. Juntando todas esas cosas, la cohomología singular es isomorfa a la hipercohomología del complejo de la gavilla de cocadenas, que es un functor derivado del functor de sección global, aunque en el sentido "hiper". Algo parecido puede hacerse con la homología, siendo la gavilla de gérmenes de cadenas singulares homotópicamente fina. El libro de Swan sobre teoría de gavillas es una buena referencia al respecto.

Answer 2

Sólo algunas reflexiones de alto nivel...

La cohomología singular es más natural en el entorno de (Quillen) categorías de modelos utilizando la cadena de Functores de Quillen $Top \to sSet \to sMod_R \to Chain_R$ . Quillen inventó/descubrió las categorías modelo para describir "funtores derivados no abelianos", es decir, álgebra homotópica en lugar de álgebra homológica. Esencialmente, esto significa functores sobre la categoría homotópica, pero descritos utilizando objetos de la categoría original (piense: tipo homotópico representado por espacios). Recíprocamente, ahora podemos pensar que los funtores derivados son de naturaleza homotópica.

Si yo fuera Urs Schreiber* ahora diría que en realidad se trataba de $(\infty,1)$ -y functores entre ellas, pero esto probablemente está fuera del alcance de la pregunta. O quizás no. Si es así, pregunta.

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*Un buen colega mío :)

Answer 3

He aquí una elaboración de la respuesta de David Roberts, una perspectiva que puede encontrarse en 'Homotopical Algebra' de Quillen. Quillen consideraba la homología como una "abelianización derivada", y la abelianización de un espacio (me refiero a un conjunto simplicial) sólo puede ser el grupo abeliano simplicial libre de ese espacio, ya que es adjunto a la izquierda del functor olvidadizo $sAb \to sSet$ .

Componiendo el functor de grupo abeliano simplicial libre con la correspondencia de Dold-Kan -una equivalencia de categorías entre grupos abelianos simpliciales y complejos de cadenas- se obtiene un functor $sSet \to Ch$ que coincide (más o menos) con el functor complejo singular. Si dotamos a $Ch$ con la estructura de modelo inyectiva, se trata de un functor de Quillen izquierdo. Según la filosofía de Quillen, la homología de los espacios debería ser el functor derivado total izquierdo de este functor. Pero la palabra "derivado" es algo vacua aquí, porque todos los conjuntos simpliciales son cofibrantes, y esto niega la necesidad de utilizar explícitamente cualquier lenguaje de categoría de modelo. Por eso pensamos en el complejo singular como el "objeto de homología" de un espacio.

Answer 4

Al ver la pregunta, supe que había visto algo parecido. Rinehart tenía un trabajo en TAMS: 1972 llamado HOMOLOGÍA SINGULAR COMO FUNTOR DERIVADO. Su interpretación de functor derivado es, por supuesto, la de su época, pero da un marco que puede adaptarse a un tratamiento más moderno. Siguiendo con la respuesta de David, también es posible utilizar el tratamiento de Quillen de la cohomología de los apuntes originales de Álgebra Homotópica SL, junto con ideas sobre cohomología monádica (el volumen Triples del trabajo SLN de Applegate y Tierney, más ideas de Mike Barr) para obtener otra visión de la cuestión.... pero sin los diversos volúmenes delante de mí no intentaré hacerlo aquí y ahora. :-)