Para $p$ algún primo, demuestre que $7p + 3^p - 4$ nunca puede ser un cuadrado perfecto de un entero.

Question

Para $p$ algún primo, demuestre que $7p + 3^p - 4$ nunca puede ser un cuadrado perfecto de un entero.

Sea $p = 6a + b$ para algunos enteros positivos $a$ y $b$ donde $0 \le b \le 5$ . Así, puesto que $p$ es un primo y $p=2$ o $p=3$ no dan solución, podemos decir que $p=6a+1$ o $p=6a+5$ . Por lo tanto $p=6k\pm1 \quad ,k \in \mathbb{Z}$

Para $p=6k+1$ que tenemos: $$7\cdot (6k+1) + 3^{6k+1} - 4 = n^2$$

Pero la RHS es congruente con $\{0, 1, 2, 4\} \pmod7$ mientras que el LHS es congruente con $6 \pmod 7$ para todos $k \in \mathbb{Z}$

Así pues, concluimos que $p = 6k -1$ . Pero entonces, ¿cómo podemos demostrar que para $p=6k-1$ ¿la igualdad anterior no tiene soluciones enteras?

Answer 1

Directamente para $\;p=2\;$ la expresión es $\;14+9-4=19\;$ no un cuadrado.

Para impar prime general $\;p\;$ Utilice $\;3^p=3\pmod 4\;$ así que..:

$$7p+3^p-4\equiv3(p+1)\pmod 4$$

Pero cualquier entero PAR elevado al cuadrado (como nuestro número. Comprobar) tiene que ser $\;0\pmod 4\;$ por lo que

sólo ocurre para $\;p=3\pmod 4\;$

Pero ahora pasamos a módulo $\;p\;$ :

$$7p+3^p-4=3-4=-1\pmod p$$

y $\;-1\;$ no es un cuadrado cuando $\;p=3\pmod 4\;$