Deje $a=(a_1,...,a_n)^\top\in\mathbb{R}^n$ ser un vector columna y deje $M_1,...,M_{n!}$ denotar todas las $n\times n$ permutación de matrices. Cuando es el rango de la matriz que consta de todas las permutaciones posibles de $a$: $$ A=[M_1 a \,|\; ... \; |\, M_{n!} a]\in\mathbb{R}^{n\times n!} $$ igual a $n$? Obviamente, $rank(A)\le n$ y si todas las entradas de $a$ son idénticas,$rank(A)=1$. Por otra parte, si $A$ rango $n$, entonces existen dos entradas de $i,j$ s.t. $a_i\not=a_j$. Es a la inversa declaración también verdad?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
El rango se desarrolla de la siguiente $4$ valores posibles en las siguientes situaciones:
- Rango $0$: $a = 0$.
- Rango $1$: $a_i$ son todos iguales a algunos escalar distinto de cero.
- Rango $n-1$: $a_i$ total $0$, y al menos uno no es cero.
- Rango $n$: de lo contrario.
Esto no es difícil de probar directamente, pero pueden encajar en el contexto general de la teoría de la representación. $\mathbb{R}^n$ es una representación del grupo simétrico, y se descompone como suma directa de dos representaciones irreducibles, es decir, la representación trivial (se extendió por todos aquellos vectores) y una representación irreducible de dimensión $n-1$ (vectores de suma cero). Si $v \in \mathbb{R}^n$ es un vector, entonces
$$\text{span}(gv : g \in S_n)$$
es un subespacio invariante de $\mathbb{R}^n$, por lo que debe ser una suma de irreductible subrepresentations. Por otra parte, en este caso (aunque no en general) cada suma se produce. Esto le da a la anterior.
