En un espacio métrico arbitrario $(M, d)$ ¿es cierto que $d((f+g)(x), (f+g)(y)) \leq d(f(x),f(y)) + d(g(x),g(y))$ ?
Evidentemente, en el caso simple en el que $M = \mathbb{R}$ y $d(x,y) = | x - y |$ tenemos $$\begin{align} d((f+g)(x), (f+g)(y)) &= |(f+g)(x) - (f+g)(y)| \\ &= |(f(x) + g(x)) - (f(y) + g(y))| \\ &= |(f(x) - f(y)) + (g(x) - g(y))| \tag{1} \\ &\leq |f(x) - f(y)| + |g(x) - g(y)| \\ &= d(f(x), f(y)) + d(g(x), g(y)), \end{align}$$ como desee. Así que, básicamente, esta prueba requiere la capacidad de reordenar los valores dentro del signo de valores absolutos, como se indica en la línea (1), lo cual es ciertamente posible.
Pero cuando intento este mismo tipo de demostración utilizando sólo las propiedades de una métrica arbitraria, obtengo $$\begin{align} d((f+g)(x), (f+g)(y)) &= d(f(x) + g(x), f(y) + g(y)) \\ &(=?) \ |d(f(x), f(y)) - d(g(x), g(y))| \tag{2}\\ &\leq d(f(x),f(y)) + d(g(x), g(y)), \end{align}$$
y no estoy seguro de poder hacer el mismo tipo de reordenación en un espacio métrico arbitrario, por eso he puesto el signo de interrogación en la línea (2). Creo que me estoy perdiendo algo obvio. (Por si sirve de algo, estoy intentando usar esto para demostrar que la suma de funciones uniformemente continuas es uniformemente continua).
