Probabilidad de infectarse en una serie de reuniones

Question

Tengo dificultades para interpretar un simple cálculo probabilístico y estaría encantado de ayudarle. Estamos en plena epidemia de Covid-19 y estoy intentando evaluar la probabilidad de que alguien se infecte en una ventana temporal. Para simplificar, supongo que la probabilidad de infectarse durante una sola sesión depende únicamente de su duración.

En términos matemáticos:

La probabilidad de ser infectado en una reunión determinada es $P(t) = t\cdot\Theta$ donde $t$ es la duración de la reunión y $\Theta$ es sólo un parámetro de calibración del virus (y mantener la probabilidad por debajo de 1).

Por lo tanto, la probabilidad de estar infectado en una serie de reuniones es el evento complementario de no estar infectado en ninguna reunión: $P(t_1...t_N) = 1-\prod_{k=1}^N(1-t_k\cdot\Theta)\tag{*}$

¿Le parece razonable esta deducción? Me parece que este es el material de un curso básico de probabilidad.

Sorprendente e incomprensiblemente para mí, vi en un artículo un cálculo que en realidad llega al siguiente resultado para la misma pregunta (y los mismos supuestos):

$P(t_1...t_N) = 1- \exp(-\Theta\sum_{k=1}^{N}t_{k})\tag{**}$

No entiendo cuál es la relación entre $(*)$ y $(**)$ y cómo en el cálculo de un suceso complementario llegaron a la ecuación $(**)$ ?

¡Muchas gracias!

Answer 1

En realidad no es cierto que la probabilidad de infectarse en una reunión sea una función lineal de la duración $t$ de la reunión; se trata de una aproximación sólo válida cuando el producto del tiempo y la probabilidad de infección es pequeño. La actualización más sencilla de este modelo lineal es la siguiente: pensar el problema en pequeños pasos temporales de longitud $\frac{1}{n}$ y supongamos que en un pequeño paso de tiempo se tiene una pequeña probabilidad $\frac{\Theta}{n}$ de ser infectado, y que estas infecciones son independientes. Entonces la probabilidad de que esté infectado después de toda la reunión de longitud $t$ es $1$ menos la probabilidad de no estar infectado, que es

$$1 - \left( 1 - \frac{\Theta}{n} \right)^{nt}$$

y para grandes $n$ esto se acerca

$$1 - e^{- \Theta t}.$$

Esto dice que el tiempo hasta la infección sigue un distribución exponencial . El mismo argumento se aplica a una secuencia de reuniones (al fin y al cabo, una secuencia de reuniones no es más que una reunión larga) y da como resultado $1 - e^{\Theta \sum t_i}$ . Realmente esto debería ser $1 - e^{\sum \Theta_i t_i}$ como parámetro de riesgo por unidad de tiempo $\Theta_i$ también puede variar mucho de una reunión a otra. No he comprobado si esto es lo que hace el artículo que enlazas.

Éste es sólo el modelo más sencillo después del modelo lineal (al que se reduce si $\Theta t$ es pequeño) y, lo que es más importante, no tiene en cuenta el hecho de que el riesgo por unidad de tiempo aumenta con el tiempo si las personas están en el interior y expulsan gotas al aire y la habitación está mal ventilada. Creo que el riesgo por unidad de tiempo después de una o dos horas puede ser mucho mayor que el riesgo por unidad de tiempo al principio de una reunión, pero no me cites. Para tenerlo en cuenta, deberíamos calcular algo más parecido a

$$1 - \exp \left( \int_0^{\sum t_i} \Theta(t) \, dt \right)$$

donde el riesgo $\Theta(t)$ ahora varía con el tiempo; antes hemos considerado el caso especial de que $\Theta(t)$ es constante o constante a trozos. Pero necesitaríamos más supuestos de modelización para averiguar una buena elección de forma para $\Theta(t)$ y, a continuación, más datos para estimarlo.

Para las evaluaciones prácticas de riesgos recomiendo el Proyecto microCOVID en el que participaron algunos de mis amigos, y que se ha actualizado para tener en cuenta el B117.