Libro de texto para el curso de licenciatura en geometría

Question

El próximo semestre me han asignado la asignatura de geometría. Originalmente, este curso estaba destinado a futuros profesores de secundaria y se centraba en la geometría axiomática al estilo de Euclides (plana, esférica e hiperbólica). La Rice University ha cambiado mucho desde que se empezó a impartir este curso (hace muchos, muchos años); ahora tenemos muy pocos estudiantes que quieran ser profesores de secundaria, y en general el nivel de nuestros estudiantes es tal que la mayoría de nuestros licenciados en matemáticas perciben el curso como inferior a ellos.

Mi tarea es rediseñar el curso. Tengo casi total libertad, salvo que no puedo exigir ningún requisito previo más allá del cálculo multivariable y las EDO.

Pregunta : ¿Qué libro de texto debo utilizar?

Estas son mis ideas sobre lo que estoy buscando.

1. Como ya he dicho, no puedo exigir ningún requisito previo más allá del cálculo multivariable y las EDO. Sin embargo, nuestros estudiantes universitarios son muy buenos (según los resultados de los exámenes y las notas de bachillerato, son bastante parecidos a los de, por ejemplo, Cornell o Northwestern). Así que quiero un libro con mucha materia.

2. Debe contener una mezcla de pruebas y cálculos, pero muchas pruebas.

3. No hay temas que esté obligado a cubrir, aunque por supuesto tiene que ser geométrica (en particular, este curso no es un requisito previo para cualquier otra cosa).

4. Los tratamientos axiomáticos de la geometría me parecen aburridos.

5. No quiero desarrollar ninguna maquinaria a menos que tenga una recompensa inmediata. Sin embargo, no me opongo en absoluto a desarrollar algunas herramientas desde cero siempre que conduzcan a algo genial.

6. Quiero que haya muchos problemas buenos.

¿Alguien tiene alguna sugerencia?

Answer 1

Me pregunto si las "Lectures on Discrete and Polyhedral Geometry" de Igor Pak podrían ser apropiadas como libro de texto para un curso de geometría de licenciatura. Aún está en forma preliminar, disponible en su sitio web. En la introducción describe una selección de temas del libro que podrían utilizarse en un curso básico de licenciatura. Parece que hay muchos ejercicios y, a primera vista, muchos de los temas parecen bastante interesantes. Sin embargo, todo este tema está muy lejos de mis conocimientos, así que no tengo ni idea de si el libro sería una buena base para un curso como el que va a impartir.

Answer 2

En cuanto al cuarto punto de tu lista, creo que el enfoque axiomático no sólo es aburrido, sino que (y esto es más importante) es casi inútil para cursos posteriores de matemáticas.

En mi opinión, la mejor geometría que se puede enseñar a los estudiantes de primer curso es la basada en el tratamiento moderno del álgebra lineal. El plan de estudios podría tener este aspecto (se basa en el curso que he impartido en los últimos años):

1. El lenguaje de los espacios vectoriales y las transformaciones lineales (bases, determinantes, espacios duales)

2. Estructura euclidiana (matrices de Gram, bases ortogonales, proyecciones ortogonales, cualquier operador ortogonal es una composición de reflexiones en hiperplanos, el operador ortogonal actúa como una rotación en subespacios bidimensionales).

3. Geometría y topología afines (normas, métrica, topología; conjuntos convexos, semiespacios de apoyo; politopos como intersecciones de semiespacios).

4. Espacios proyectivos (coordenadas homogéneas, atlas sobre el espacio proyectivo, incrustación de Veronese, transformaciones proyectivas, dualidad de puntos e hiperplanos)

5. Cónicas y cuádricas proyectivas y afines (rango, núcleo; espacio tangente a una cuádrica; transformaciones polares; lápices de cuádricas)

Los libros de texto con este tipo de geometría son:

1. Michele Audin - Geometría
2. Elmer Rees - Notas sobre geometría
3. Gruenberg, Weir - Geometría lineal
4. Jean Gallier - Métodos geométricos y aplicaciones
5. Mark Steinberger - Curso de geometría de baja dimensión
6. Tarrida - Mapas afines, movimientos euclidianos y cuadraturas
7. Dieudonné - Álgebra lineal y geometría
8. Berger - Geometría
9. Vinberg - A course in algebra, capítulo "affine and projective spaces" (Espacios afines y proyectivos)

Un curso así permitiría a los estudiantes comprender mejor la naturaleza geométrica del álgebra lineal (personalmente creo que el material que se aprende en un curso de álgebra lineal debería llamarse "geometría lineal"), mostraría cómo las matemáticas modernas simplifican material clásico como la geometría euclidiana y proporcionaría una sólida base geométrica para cursos como geometría algebraica y topología (donde la familiaridad con los espacios proyectivos ayuda mucho).

Le sugiero que lea el prefacio del libro de Dieudonné, donde profundiza en estas cuestiones.

Answer 3

• Introducción a la geometría por Coxeter.
• Geometría elemental desde un punto de vista avanzado por Moise.
• Geometría: Euclides y más allá por Hartshorne.

Answer 4

Yo recomendaría Simetría continua: de Euclides a Klein por Barker y Howe. Hice el curso como estudiante y lo disfruté mucho. El primer capítulo da un tratamiento axiomático de la geometría, y está pensado para ser una parte breve del curso. El resto del libro es un enfoque transformacional de la geometría, que introduce isometrías y semejanzas. El Programa Erlanger de Felix Klein es el principio rector del curso.

Answer 5

He aquí algunas ideas:

1) Me gusta la idea de un curso sobre politopos. Hay pocos libros, pero algunos son excelentes: "Lecture on polytopes" de Ziegler o "Convex polytopes" de Grunbaum son las opciones obvias.

2) Un curso sobre curvas y superficies + una introducción a los colectores debería satisfacer 1-6 sin problemas. "Geometría diferencial de curvas y superficies" de Do Carmo es un libro muy bueno; hay muchos libros excelentes sobre variedades.

3) Un curso básico sobre variedades algebraicas requiere el uso de álgebra y cálculo diferencial y da ejemplo de espacios con espacios patológicos (es decir, no Hausdorff y/o con singularidades).

4) Supongo que quieres un curso de geometría más moderno pero sin salirte de la visión de la formación de los profesores de secundaria. Michèle Audin escribió un libro muy bueno sobre afines, proyectivas, curvas y superficies. Está dirigido a futuros profesores (franceses) de secundaria. Supongo que el título es "Geometría" (es "Géométrie" en la versión francesa).

No conozco el plan de estudios de un estudiante estadounidense típico, así que espero que mis sugerencias sigan siendo pertinentes (especialmente el punto 3).