Solución explícita de IVP de EDP $\rho_t = [\rho (1-\rho)]_x$

Question

Cuando intentaba determinar el perfil de densidad $\rho(t,x)$ de un sistema de partículas me encontré con la EDP:
$$\frac{\partial \rho}{\partial t}=\frac{\partial}{\partial x}\big(\rho (1-\rho)\big), \qquad\text{para todo}\qquad x \in \mathbb{R}, t>0,$$ con la condición inicial $\displaystyle \lim _{t \rightarrow 0^{+}}\rho(t,x)=\mathbb{1}_{\{x<0\}}$.

¿Esta ecuación tiene una solución explícita?

Intenté la solución de la forma $\rho(t,x)=h(x/t)$ lo cual conduce a $h(u)=\frac{u+1}{2}$ pero la condición inicial no se cumple. Por $\mathbb{1}_{\{x<0\}}$, me refiero a la función escalón de Heaviside (es decir, la función característica de $\Bbb R_-^*$).

Answer 1

La EDP $\rho_t + Q(\rho)_x = 0$ con el flujo $Q(\rho) = -\rho (1-\rho)$ corresponde en realidad al modelo de flujo de tráfico Lighthill-Whitham-Richards (LWR) para automóviles propagándose hacia $x$ decreciente, donde $\rho$ denota la densidad de autos. El problema de valor inicial $\rho(x,0) = 1$ para $x< 0$ y $\rho(x,0) = 0$ para $x\geq 0$ es un problema de Riemann. La situación se puede interpretar como una carretera de un solo sentido, que está saturada para $x<0$ y vacía para $x\geq 0$. Usando el método de las características, obtenemos el conjunto de líneas a lo largo de las cuales $\rho$ es constante (representado abajo en el plano $x$-$t$):

La condición de entropía de Lax indica que la solución admisible es una onda de choque, ya que las curvas características se intersectan. Según la condición de Rankine-Hugoniot, el choque se propaga a la velocidad $s = 0$. La solución $$ \rho(x,t) = \left\lbrace \begin{aligned} &1 &&\text{si}\quad x<0 \\ &0 &&\text{si}\quad x\geq 0 \end{aligned}\right. $$ es una discontinuidad estática ubicada en $x=0$, lo cual es coherente con la intuición. De hecho, dado que los autos se mueven hacia $x$ decreciente, los autos inicialmente ubicados en la parte saturada $x<0$ no pueden avanzar.

La situación opuesta donde $\rho(x,0) = 0$ para $x\leq 0$ y $\rho(x,0) = 1$ para $x> 0$ puede interpretarse como un semáforo ubicado en $x=0$, que se pone verde en $t=0$. Los autos inicialmente ubicados en la semirrecta saturada $x>0$ pueden avanzar hacia $x$ decreciente. La solución de entropía es una onda de rarefacción (es decir, una solución suave auto-similar) de la forma $$ \rho(x,t) = \left\lbrace \begin{aligned} &0 & &\text{si}\quad x\leq -t \\ &\tfrac{1}{2}(1+x/t) & &\text{si}\quad {-t} \leq x\leq t \\ &1 & &\text{si}\quad x> t \end{aligned}\right. $$

Answer 2

$$\frac{\partial \rho}{\partial t}-\frac{\partial}{\partial x}\big(\rho (1-\rho)\big)=0\qquad;\qquad \rho(0,x)=\mathbb{1}$$ Como ya se ha señalado en los comentarios, una solución obvia es : $$\rho(x,t)=1$$ Si uno no puede verlo a simple vista, se puede resolver analíticamente la EDP.

El sistema de EDOs de Charpit-Lagrange es : $$\frac{dx}{1}=\frac{dt}{-\rho (1-\rho)}=\frac{d\rho}{0}$$ Una primera ecuación característica es : $$\rho=c_1$$ Una segunda ecuación característica proviene de $\frac{dx}{1}=\frac{dt}{-c_1 (1-c_1)}$ : $$x+c_1(1-c_1)t=c_2$$ La solución general de la EDP se expresa en forma de ecuación implícita : $$\rho=F\left(x+\rho (1-\rho)t\right)$$ donde $F$ es cualquier función (por determinar según la condición de contorno).

Condición de contorno : $\rho(0,x)=1=F\left(x+1 (1-1)t\right)=F(x)$

La función $F$ está determinada : $F(x)=1$ para cualquier valor de $x$.

Lo colocamos en la solución general, lo que conduce a la solución particular que satisface la condición de contorno : $\rho=F\left(x+\rho (1-\rho)t\right)=1$ $$\rho(x,t)=1$$ Por supuesto, resolver de forma general solo para obtener una solución tan obvia es como usar un mazo para matar una mosca.