Convexidad de $e^{-2x}+e^{-bx^2}$ , $\frac12<b<\frac32$

Question

Demostrar que $u_b(x)=1-\frac12(e^{-2x}+e^{-bx^2})$ es cóncava para $\frac12<b<\frac32$ . ¿Qué pasa con b= $\frac1{20}$ ? $b=2$ ?

Al no tener en cuenta el 1 y luego el $\frac12$ podemos convertirlo en el problema equivalente para demostrar que $e^{-2x}+e^{-bx^2}$ es convexa.

la segunda derivada es $2be^{-b x^2} (2 b x^2-1)+4 e^{-2 x}$ pero demostrar su no negatividad requiere manipular de alguna manera los diferentes exponentes, y despreciar términos no ha conducido a nada.

Answer 1

SUGERENCIA:

Tenga en cuenta que $$\begin{array}{rcl} 2b\mathrm{e}^{-bx^2}>0&&\forall x\in\mathbb{R}\\ 4\mathrm{e}^{-2x}>0&&\forall x\in\mathbb{R} \end{array}$$

Así que sólo hay que verificar el signo de $(2bx^2-1)$ .