Cardinalidad de los primos en UFD sobre conjuntos infinitos

Question

Como sabemos, hay infinitos números enteros primos por, por ejemplo la prueba de Euclides.

¿Es también cierto que hay infinitos primos en cada UFD definido sobre un conjunto infinito? He intentado ver si la prueba de Euclides se extendía a los UFD, pero no he conseguido que funcione. Gracias en Adance.

Answer 1

Como señala GreginGre, la respuesta es no, ya que cada campo es un UFD que no contiene cualquier elementos principales. Sin embargo, los campos son las únicas UFD en las que esto puede ocurrir. Para verlo, veamos $R$ sea cualquier UFD que no sea un campo; entonces $R$ es automáticamente infinito, y $R$ contiene al menos un elemento primo $p$ . Demostraremos que $R$ tiene infinitos elementos primos. Si el grupo de unidades $R^\times$ es infinita, entonces hemos terminado, ya que la familia $\{\lambda p:\lambda\in R^\times\}$ es una colección de elementos primos distintos de $R$ . Así pues, supongamos que $R^\times$ es finito; puesto que $R$ es infinito, ahora estamos en condiciones de reproducir la demostración del teorema de Euclides. En efecto, supongamos $p_1,\dots,p_n\in R$ es cualquier colección finita de elementos primos de $R$ . Desde $R$ es infinito, el conjunto $\{1+p_1\dots p_n s:s\in R\}$ también es infinito, y como $R^\times$ es finito, por lo que existe algún $s\in R$ tal que $1+p_1\dots p_ns$ no es una unidad. Puesto que $R$ es un UFD, entonces hay algún elemento primo $q$ que divide $1+p_1\dots p_ns$ y no podemos tener $q=p_i$ para cualquier $i\leqslant n$ Así que $q$ es un elemento primo de $R$ no entre $p_1,\dots,p_n$ . En particular, $R$ tiene infinitos elementos primos, como se desea. Así que, para responder a tu pregunta, cualquier UFD que no sea un campo tiene infinitos elementos primos.

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Por otro lado, tal como comenta GreginGre, si estás dispuesto a considerar ejemplos que tienen finitamente muchos elementos primos unidades de módulo entonces hay puede ser contraejemplos que no sean campos. He aquí una receta para construir tales ejemplos. Sea $R$ sea cualquier UFD que no sea un campo y sea $p_1,\dots,p_n\in R$ sean cualesquiera elementos primos de $R$ . Entonces el subconjunto $S=R\setminus\bigcup_{i=1}^n\langle p_i\rangle$ es un complemento de ideales primos, por tanto multiplicativamente cerrado, y por Criterio de Kaplansky la localización $S^{-1}R$ es un UFD. Pero todo elemento primo de $S^{-1}R$ está asociado a uno de los $p_i/1$ (¿por qué?), así que $S^{-1}R$ sólo tiene un número finito de primos hasta la asociatividad, como se deseaba.

Para un ejemplo muy fácil de esta construcción, veamos $R=\mathbb{Z}$ de modo que $p_1,\dots,p_n\in\mathbb{Z}$ son sólo números primos enteros. Entonces el anillo $S^{-1}R$ indicado anteriormente es sólo el subring $$\left\{\frac{a}{b}:p_i\nmid b\text{ for each }i\leqslant n\right\}$$ de $\mathbb{Q}$ ; como ejercicio, intenta comprobar directamente que este anillo es un UFD y que todos sus elementos primos están asociados a algún $p_i$ .