Representación en serie de potencias de $\frac{1+x}{1-x}$ ¿Explicación?

Question

Realmente no entiendo cómo funciona nada de esto. He intentado mirar en este ejemplo de función de potencia ya para averiguarlo . Pero me he perdido cuando llega esta parte. $$\sum_{n=0}^{\infty}x^n=x^0+\sum_{n=1}^{\infty}x^n=1+\sum_{n=1}^{\infty}x^n$$ ¿Por qué se da todo este paso y por qué el $n$ ¿índice en movimiento? ¿Y se distribuye el $\sum_{n=1}^{\infty}x^n$ en $(1+x)$ ?

Answer 1

Tienes una suma de dos series geométricas. \begin{align} \frac 1 {1-x} & = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots \\[10pt] \frac x {1-x} & = x + x^2 + x^3 + x^4 + \cdots \end{align} Buscas la suma de las dos anteriores. \begin{align} \sum_{n=0}^\infty x^n & = x^0 + x^1 + x^2 + x^3 + x^4 + \cdots \\[10pt] & = x^0 + \Big( x^1 + x^2 + x^3 + x^4 + \cdots \Big) \\[10pt] & = x_0 + \sum_{n=1}^\infty x^n \\[10pt] & = 1+\sum_{n=1}^{\infty}x^n \end{align}

Answer 2

Sigma suma es simplemente una colección de términos que se suman, por lo que el paso que está viendo es básicamente $(x^0+x^1+x^2+\cdots+x^n)=x^0+(x^1+x^2+\cdots+x^n)=1+(x^1+x^2+\cdots+x^n)$

Answer 3

Como usted sabe:

$$\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty}x^n$$

Usted está tratando de encontrar la representación en serie de potencias de $\frac{1+x}{1-x}$ .

Lo primero que hay que hacer es representar la fracción de forma similar a la vista al principio:

$$\frac{1+x}{1-x} = \frac{1}{1-x} + \frac{x}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty}x^n + \frac{x}{1-x}$$

Ahora tenemos que tratar el término $\frac{x}{1-x}$ :

Si dividimos por $x$ en la parte superior e inferior obtenemos:

$$\frac{x}{1-x} = \frac{1}{\frac{1}{x} - 1} = -\frac{1}{1 -\frac{1}{x}} = -\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{x^n}$$

Ahora podemos representar nuestra suma como:

$$\frac{1+x}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty}\left(x^n - \frac{1}{x^n}\right)$$