¿Una topología sobre el conjunto de líneas?

Question

Por supuesto, cualquier conjunto $X$ puede tener una topología, pero ¿existen topologías más naturales, métricas o similares sobre el conjunto de rectas en $\mathbb R^2$ ?

Answer 1

De hecho, existe una estructura suave en el plató $L$ de líneas en $\mathbb{R}^2$ . El atlas se compone de dos conjuntos $U,V$ correspondientes a las líneas no verticales (o no horizontales). Obsérvese que una línea no vertical $y = mx + c$ viene dada por dos parámetros determinados de forma única, por lo que el mapa $U \to \mathbb{R}^2$ que asigna una línea no vertical a $(m,c)$ es un gráfico. Del mismo modo, una línea no horizontal $x = my + c$ produce dos parámetros para el gráfico $V \to \mathbb{R}^2$ . Por último, la composición de estos dos gráficos en cualquier orden es suave: por ejemplo, los elementos de $U \cap V$ son líneas $y = mx + c$ con $m \neq 0$ y esto implica $x = m^{-1}y - cm^{-1}$ . Así, la composición de los dos gráficos viene dada por $(m^{-1},-cm^{-1})$ que es suave con una inversa suave.

De hecho, esta variedad lisa es bien conocida: es el plano proyectivo puntuado $\mathbb{R}P^2 \setminus \{[0:0:1]\}$ . En efecto, existe una incrustación suave bien definida $L \to \mathbb{R}P^2$ dado por $\{ ax+by+c = 0 \} \mapsto [a:b:c]$ . Es casi surjetivo, excepto que no podemos tener $a=b=0$ y $c \neq 0$ . Al retirar el punto $[0:0:1]$ obtenemos un difeomorfismo $L \cong \mathbb{R}P^2 \setminus \{[0:0:1]\}$ .

Obsérvese que el plano proyectivo menos un punto es una superficie bien conocida y fácilmente visualizable: ¡es la banda de Möbius sin su límite! Para hacer la correspondencia entre $L$ y la banda de Möbius más clara, observe que una línea en $L$ es casi determinado de forma única por las dos cantidades siguientes: su ángulo $\in \mathbb{R}P^1 \cong S^1$ (donde $0^\circ = 180^\circ$ ), y su distancia al origen $\in [0,\infty)$ . Sin embargo, esta correspondencia falla: si $d > 0$ y $\theta \in S^1$ son fijos, hay precisamente deux líneas con ángulo $\theta$ con la distancia $d$ desde el origen. Bien; ¡arreglemos esto permitiendo que las distancias sean negativas! Entonces, si $(d,\theta)$ corresponde a una línea, $(-d,\theta)$ corresponde a la otra línea que atraviesa el origen. ¡Perfecto! Pero espera... si esto fuera cierto, se establecería una correspondencia entre $L$ y el producto $S^1 \times \mathbb{R}$ también conocido como el cilindro abierto, también conocido como el haz de líneas triviales sobre $S^1$ . Pero esto no puede ser así: cualquier curva simple cerrada en el cilindro abierto lo desconecta (propiedad de la curva de Jordan para $\mathbb{R}^2 \setminus \{0\} \cong \text{open cylinder}$ ), pero esto no se mantiene en $L$ . En efecto, eliminar el bucle en $L$ que consiste en todas las líneas que pasan por el origen. Entonces está claro que todavía se puede ir desde cualquier línea en $L$ a cualquier otro utilizando un camino que nunca utiliza una línea a través del origen.

¿Qué es lo que falla? El problema es que es imposible asignar consistentemente una opción de "dirección positiva" a la copia de la línea real adjunta a cada ángulo $\theta \in S^1$ . Es posible localmente, en una vecindad de cada línea, pero estas imágenes locales no pueden pegarse de forma consistente debido a una obstrucción topológica. Por ejemplo, si empezamos con una línea que pasa por el origen y giramos esta línea $180^\circ$ En el caso de la línea de la derecha, se trata de la misma línea, pero la noción de "distancia al origen" se ha invertido. Esto es una manifestación de la no orientabilidad del haz de Möbius sobre el círculo.

Answer 2

Intuitivamente podemos decir si dos líneas están cerca: digamos, usando un ángulo y una distancia entre ellas. Esto define un espacio métrico, y por tanto también una topología. Mostraré otra forma más elegante de conseguir lo mismo.

Cualquier línea recta en $\mathbb{R}^2$ puede ser especificado de forma no única por un punto y un vector de dirección no nulo. Por lo tanto, dejemos que $X = \mathbb{R}^2 \times \left(\mathbb{R}^2 \setminus 0\right)$ donde la primera componente es un punto y la segunda un vector. Ponga la topología estándar en $X$ .

Ahora, defina una relación de equivalencia en $X$ de manera que dos pares son equivalentes si representan la misma línea: $(p_1, v_1) \sim (p_2, v_2) \Leftrightarrow v_1 \| v_2 \,\land\, (p_2-p_1) \| v_2$ (donde $a\|b$ vectores de medios $a$ y $b$ son paralelos).

Ahora podemos identificar $X/\sim$ con el conjunto de todas las líneas de $\mathbb{R}^2$ y ponerle la topología cociente estándar.

Answer 3

Además de las respuestas existentes -que son bastante correctas-, permítanme dar otra forma de visualizar el espacio de las líneas.

Veamos primero las líneas de $\mathbb{R}^2$ no que pasa por el origen; llama a este conjunto $L_+$ . Un elemento $l$ de $L_+$ se especifica mediante un elemento $\alpha_l$ del plano perforado $\mathbb{R}^2\setminus\{(0, 0)\}$ : a saber, $\alpha_l$ es el punto en $l$ más cercano al origen. Para decirlo de otra manera, dibuje una línea desde el origen hasta $\alpha_l$ la perpendicular a esta línea, a través de $\alpha_l$ es $l$ . Es fácil comprobar que se trata de un homeomorfismo entre $L_+$ (con la topología del subespacio) y $\mathbb{R}^2\setminus\{(0, 0)\}$ .

Ahora, ¿qué pasa en el origen? Bien, una línea que pasa por el origen está especificada por su ángulo: concretamente, por un punto en $S^1$ . . .

. . . Excepto que esto termina contando dos líneas. Por ejemplo, el $x$ -El eje puede ser especificado por $(0, 1)$ o $(1, 0)$ . Así que, en realidad, el conjunto de líneas que pasan por el origen se parece a $S^1$ con puntos opuestos identificados - es decir, el espacio proyectivo $\mathbb{RP}^1$ . (Esto es, por supuesto, homeomorfo a $S^1$ pero eso es propio del número $1$ .)

¿Qué descripción da esto del espacio de todas las líneas? Bueno, se parece al plano $\mathbb{R}^2$ con el origen sustituido por una copia del espacio proyectivo $\mathbb{RP}^1$ . Precisar esto es un poco complicado, pero es un buen ejercicio. Y esto resulta ser una especie de ejemplo degenerado de una construcción crucial en la geometría algebraica - el blowup (ver https://en.wikipedia.org/wiki/Blowing_up ).

Por cierto, cabe señalar que, aunque esta descripción del espacio de las líneas es correcta y tiene una serie de buenas propiedades, es engañosa en ciertos aspectos. En particular, la descripción parece no homogénea (el origen parece un punto especial), mientras que al pensar en las líneas en el plano queda claro que el espacio de las líneas no tiene puntos distinguidos (y esto queda más claro en las otras descripciones).