Medida superior de Lebesgue

Question

Sea $A$ y $B$ son conjuntos medibles. Prueba $\mu^*(A \cup B) + \mu^*(A \cap B) \leq \mu^*(A) + \mu^*(B)$

Intenté utilizar $A \cap B \subset A \subset A \cup B$ . De forma similar a $B$ y aplico la medida de Lebesgue pero no funciona. ¿Podría ayudarme?

Answer 1

SUGERENCIA:

Utilice las siguientes propiedades de la medida de Lebesgue y de la medida exterior

$$\mu^{\star}(A) = \inf_{U \text{meas}, A\subset U} \mu(U)$$

Sea $\epsilon >0$ . Toma $U$ , $V$ medible de modo que $A\subset U$ , $B\subset V$ y $$\mu(U)\le \mu(A)+ \epsilon/2$$ $$\mu(V)\le \mu(B)+ \epsilon/2$$ Ahora $ A\cup B\subset U\cup V$ y $ A\cap B\subset U\cap V $ . Así que $\mu^{\star}(A\cup B) \le \mu(U\cup V)$ , $\mu^{\star}(A\cap B) \le \mu(U\cap V)$ . Por lo tanto $$\mu^{\star}(A\cup B) + \mu^{\star}(A\cap B) \le \mu(U\cup V) + \mu(U\cap V) = \mu(U) + \mu(V) \le \mu^{\star}(A) + \mu^{\star}(B)+\epsilon$$