¿Por qué agregamos un signo negativo delante de una raíz cuadrada de un (número negativo elevado al cuadrado)?

Question

Recientemente, mientras aprendía cálculo en la escuela secundaria, mi profesor mencionó cómo hacer límites al infinito para encontrar asíntotas horizontales dividiendo por el término de mayor grado de $x$. Para algunos límites, hay una raíz cuadrada, por lo que hay que dividir dentro de la raíz cuadrada, por ejemplo, si tienes el límite:

$\lim_{x \to -\infty} \frac{\sqrt{4x^2+3}}{3x+2}$.

La forma en que me enseñó mi profesor fue dividir por $x$, por lo que obtienes $3 + \frac{2}{x}$ en el denominador. En el numerador, se supone que debes obtener $-\sqrt{4 +\frac{3}{x^2}}$ y sustituir el infinito negativo. Sin embargo, no entiendo por qué tienes que agregar el signo negativo delante del numerador, aunque entiendo que tiene algo que ver con el límite siendo negativo infinito (ya que esto no sucede cuando el límite tiende a infinito).

Mi profesor mencionó algo sobre los números negativos al cuadrado y cómo funcionan al ser raíz cuadrada, y mencionó esta definición:

$\sqrt{x^2}$ = $-x$ si $x<0$

$\sqrt{x^2}$ = $x$ si $x>0$

Sin embargo, esto no tiene sentido para mí. Si $x = -5$ por ejemplo, ¿no sería $\sqrt{(-5)^2}$, que es $\sqrt{25}$ que es 5 en lugar de -5? No estoy seguro de por qué existe la "definición" o ecuación anterior.

Answer 1

• El signo menos en $$-x$$ no indica que $-x$ sea negativo; más bien, opera en $x$ para que el valor resultante $-x$ tenga el signo opuesto. (Es útil leer $-x$ como “menos $x$” en lugar de “negativo $x$”.)

• Tu definición dada puede ser comprimida en una sola línea: $$\sqrt {x^2}=|x|.$$

Answer 2

Como una forma equivalente, en lugar de dividir por $x$, podemos proceder factorizando los términos principales de la siguiente manera

$$ \frac{\sqrt{4x^2+3}}{3x+2}= \frac{\sqrt{x^2}}{x} \frac{\sqrt{4+\frac 3{x^2}}}{3+\frac 2 x}$$

y dado que eventualmente $x<0$ para el factor principal tenemos

$$\frac{\sqrt{x^2}}{x}= \frac{|x|}{x}=-1$$

como fácilmente puedes comprobar sustituyendo algún número negativo, como por ejemplo

$$\frac{\sqrt{(-5)^2}}{-5}= \frac{5}{-5}=-1$$

Como alternativa, podemos cambiar la variable por $y=-x\to \infty$ para obtener

$$\lim_{x\to -\infty} \frac{\sqrt{4x^2+3}}{3x+2}= \lim_{y\to \infty} \frac{\sqrt{4y^2+3}}{-3y+2}$$

lo que lleva al mismo resultado.

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Edición

Para el método propuesto de "dividir por x", los pasos completos deberían ser los siguientes

$$ \frac{\sqrt{4x^2+3}}{3x+2}= \frac{\frac 1 x}{\frac 1 x} \frac{\sqrt{4x^2+3}}{3x+2} = \frac{-\sqrt{\frac 1 {x^2}}}{\frac 1 x} \frac{\sqrt{4x^2+3}}{3x+2} =-\frac{\sqrt{4+\frac 3{x^2}}}{3+\frac 2 x} $$

y el paso clave es que para $x<0$

$$ \frac 1 x= -\sqrt{\frac 1 {x^2}}\iff \sqrt{x^2}=-x$$

Answer 3

Si $x=-5$ entonces sí, $\sqrt{x^2} = 5$. Pero dijimos que $x$ es igual a -5, no a 5. Por lo tanto, es incorrecto decir $\sqrt{x^2} = x$ cuando $x = -5$. Tenemos $\sqrt{x^2} = -x$ cuando $x = -5$.

Answer 4

También estoy en la escuela secundaria, y entiendo que si hay un número al cuadrado y luego se le aplica la raíz cuadrada, el resultado es (por definición) simplemente el número original. Tomando tu ejemplo de -5, al sustituirlo obtienes sqrt (-5)^2 = -5. (-5)^2 es 25 y al sacar la raíz cuadrada obtienes 5, que no es igual a -5. Para evitar esto, debes especificar que si X es negativo, entonces sqrt X^2 = -x y si X es positivo, entonces sqrt X^2 = X. Esto se expresaría matemáticamente utilizando desigualdades como se ve en tu pregunta.