Continuidad de $f$ y decrecimiento monótono de $g(x) = \cos(f(x))$ implica la continuidad uniforme de $f$

Question

Sea $f,g : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ . Quiero mostrar uniformemente la continuidad de $f$ en

$f$ es continua y $f(0) = \frac{\pi}{2}$ , $g(x) = \cos(f(x))$ es monotónicamente decreciente.

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Sé que si $f$ es diferenciable y $|f'|$ está acotada, entonces $f$ es uniformemente continua. Y a partir de $g(x)$ es monotónicamente decreciente si $g$ es diferenciable, entonces ingenuamente puedo adivinar $g'(x) <0$ (decreciente) y deducir $g'(x) = - f'(x) \sin(f(x))<0$ , ...

Pero la información facilitada aquí no basta para demostrar $g$ y $f$ son diferenciables.

Answer 1

Su función tiene que ser monótona creciente (por propiedades de $\cos$ ) y limitada (por $\pi$ .) Ahora utilice esta respuesta.