En este momento estoy intentando responder a un problema pero no estoy muy seguro de entender lo que plantea la pregunta en sí. La pregunta dice
Fijar una hora $t_*>0$ . Supongamos que $\phi_i, \psi_i$ donde $i=1,2$ son funciones acotadas en la recta real. Sea $u_i$ denotan la solución de: $$\frac{\partial^2u_i}{\partial t^2}-c^2\cdot\frac{\partial^2u_i}{\partial x^2}=0, \>\>\>\>u_i(x,0)=\phi_i(x), \>\>\>\> \frac{\partial u_i(x,0)}{\partial t} = \psi_i(x)$$ Para cualquier función $f(x)$ con $||f(x)||_{\infty}$ que denota el supremum de $|f(x)|$ en $x\in\mathbb R$ . Considera la afirmación: Para cada $\epsilon>0$ podemos encontrar $\delta>0$ tal que: $$\text{if } ||\phi_1(x)-\phi_2(x)||_{\infty}<\delta\text{ and }||\psi_1(x)-\psi_2(x)||_{\infty}<\delta, \textbf{ then } ||u_1(x, t_*)-u_2(x,t_*)||_{\infty}<\epsilon$$ a) Explica en palabras lo que significa esta afirmación en términos de la resolución del PIV para la ecuación de onda b)Demuestre la afirmación
Ahora para a), estoy asumiendo que la manera de describirlo con palabras es que si los valores iniciales tienen un error que es delta-fino, entonces las soluciones que vienen con los dos IVP separados tiene que tener error que es épsilon-fino, o en otras palabras, la solución es única.
Pero por b), no sé ni por dónde empezar. ¿Cómo puedo demostrar esta afirmación utilizando definiciones épsilon delta? No tengo muchos conocimientos sobre definiciones delta épsilon y necesito ayuda. Si alguien pudiera ayudarme, se lo agradecería mucho. Gracias.
