Demostrar que existen números enteros tales que se cumple al menos una de las tres desigualdades

Question

Supongamos que me dan 4 números enteros positivos $A, B, C, D$ donde $A > B$ y $C < \lceil \frac{A}{B} \rceil $ ¿cómo puedo demostrar que siempre existen números enteros $x,y \geq 0$ donde $D = x+y$ de forma que al menos una de estas tres desigualdades debe cumplirse para cada combinación válida de $A, B, C, D \in \mathbb{Z}_{> 0}$ .

$$\frac{y}{x+C} \geq \frac{A}{B} \geq \frac{y-1}{x+1}$$ $$\frac{y+C}{x-1} \geq \frac{A}{B} \geq \frac{y+1}{x}$$ $$\frac{y+C}{x} \geq \frac{A}{B} \geq \frac{y}{x+1}$$

Hice algunas manipulaciones algebraicas para llegar a las tres desigualdades anteriores en esa forma, pero parece que no puedo razonar nada acerca de la existencia de una tal $x, y$ . Las simulaciones parecen sugerir que siempre existe tal $x, y$ (¡aunque no exhaustiva!), pero no encuentro ninguna prueba de ello.

¿Alguien tiene alguna idea sobre cómo abordar esta cuestión? (O tal vez un contraejemplo de lo contrario).

Answer 1

Sustituir $\frac AB$ avec $r-1$ . Así, dado $C,D\in\Bbb Z_{>0}$ y un número real $r>C$ La pretensión es que uno de $$\frac {D-x}{x+C}\ge r-1\ge \frac {D-x-1}{x+1} $$ $$\frac {D-x+C}{x-1}\ge r-1\ge \frac {D-x+1}{x} $$ $$\frac {D-x+C}{x}\ge r-1\ge \frac {D-x}{x+1} $$ tiene una solución entera $0\le x\le D$ (con $x=0$ , $x=1$ excluido para las dos opciones inferiores).

Equivalentemente, uno de $$\frac {D+C}{x+C}\ge r\ge \frac {D}{x+1} $$ $$\frac {D+C-1}{x-1}\ge r\ge \frac {D+1}{x} $$ $$\frac {D+C}{x}\ge r\ge \frac {D+1}{x+1} $$ tiene esa solución. Tomemos los recíprocos, $$\frac {x+C}{D+C}\le \frac1r\le \frac {x+1}D $$ $$\frac {x-1}{D+C-1}\le \frac1r\le \frac {x}{D+1} $$ $$\frac {x}{D+C}\le \frac1r\le \frac {x+1}{D+1} $$ y resolver para $x$ , $$ \frac{D+C}r-C \ge x \ge \frac Dr-1 $$ $$ \frac{D+C-1}r+1 \ge x \ge \frac {D+1}r $$ $$ \frac{D+C}r \ge x \ge \frac {D+1}r-1 $$ Las diferencias entre el límite superior y el inferior son $$ \frac Dr+1-C,\qquad \frac{C-2}r+1,\qquad \frac{C-1}r+1$$ En $\frac{C-1}r+1\ge1$ siempre hay un número entero $x$ satisfaciendo $\frac{D+C}r \ge x \ge \frac {D+1}r-1$ . En $r>1$ tenemos $\frac{D+1}r-1<D$ y, por tanto, el número entero más pequeño de ese intervalo es efectivamente $\le D$ y como $\frac {D+C}r>0$ el mayor número entero es $\ge 0$ . Así que ya parece que la tercera opción siempre tiene solución, pero para eso, hay que exigir $x\ne 0$ . En otras palabras, esto sólo funciona si $$\tag1\frac{D+C}r\ge 1.$$ Por otra parte, si $\frac{D+C}r<1$ entonces se ve que la segunda desigualdad tiene como máximo $x=1$ como solución - lo que no está permitido, y la primera desigualdad no puede tener una solución no negativa en absoluto. Por lo tanto $(1)$ o, de forma equivalente $$ {B(D+C-1)}\ge A$$ es necesario .