Multiplicadores de Lagrange - Resolución de sistemas de ecuaciones

Question

$$\begin{array}{ll} \text{extremize} & \overbrace{xy + xz + yz}^{=: f(x,y,z)}\\ \text{subject to} & x^2 + y^2 + z^2 = 1\end{array}$$

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Obtengo el siguiente sistema de ecuaciones de Lagrange

$y + z - 2x\lambda = 0\qquad(1)$

$x + z - 2y\lambda = 0\qquad(2)$

$x + y - 2z\lambda = 0\qquad(3)$

$x^2 + y^2 + z^2 = 1\qquad(4)$

si hago (1) + (2) + (3) y divido por 2 obtengo $x +y+z = \lambda(x + y + z)$ lo que significa $\lambda = 1$ o $x+y+z=0$

Puedo concluir adecuadamente que el $\lambda = 1$ caso pero no estoy siendo capaz de desarrollar el caso $x+y+z=0$ . ¿Algún consejo sobre cómo proceder?

Answer 1

$$1-(xy+xz+yz)=\sum_{cyc}(x^2-xy)=\frac{1}{2}\sum_{cyc}(x-y)^2\geq0,$$ que dice que $$xy+xz+yz\leq1.$$

La igualdad se produce para $x=y=z=\frac{1}{\sqrt3},$ que dice que tenemos un valor máximo.

Además, (es el caso, por lo que usted busca) $$\frac{1}{2}+xy+xz+yz=\frac{1}{2}\sum_{cyc}(x^2+2xy)=\frac{1}{2}(x+y+z)^2\geq0,$$ que dice $$xy+xz+yz\geq-\frac{1}{2}.$$ La igualdad se produce para $z=0$ , $x=\frac{1}{\sqrt2}$ y $y=-\frac{1}{\sqrt2},$ que dice que tenemos un valor mínimo.