Hallar la suma de una serie geométrica general

Question

$\text{Find the general sum formula for: } \sum_{n=1}^{\infty}x^{2n-1}, x\in(-1,1)$ . Sé cómo hacer esto si sólo fuera $\sum_{n=1}^{\infty}x^{n-1}$ como es justo $\frac{1}{1-x}$ sin embargo, el exponente de $2n-1$ es donde me confundo. Cualquier ayuda será muy apreciada.

Answer 1

Pista: Tenga en cuenta que $$\sum_{n=1}^{\infty}x^{2n-1} = x + x^3 + x^5 + \cdots = x(1+ x^2 + x^4+\cdots).$$ ¿Sabes sumar la expresión entre paréntesis? Si no es así, prueba a sustituirla por $u=x^2$ y observe que esa serie se convierte en $1+u+u^2+\cdots$ .

Answer 2

$$\sum_{n=1}^{\infty}x^{2n-1}=\sum_{n=0}^{\infty}x^{2n+1} = x \sum_{n=0}^{\infty}x^{2n} = x \sum_{n=0}^{\infty}(x^2)^n=\frac{x}{1-x^2}.$$

Obsérvese el cambio en los límites de la suma.