Si f es holomorfa en todos $\Bbb{C}$ y $f(z)=f(1-\cos(z))$ $\forall z$ ¿es f necesariamente una constante?

Question

Hoy tuve examen de Teoría de Funciones de Variable Compleja y realmente quiero saber cómo resolver este ejercicio:

Si f es holomorfa en todos $\Bbb{C}$ y $f(z)=f(1-\cos(z))$ $\forall z$ ¿es f necesariamente una constante?

Answer 1

Sí. Escribe $f(z) = f(0) + \sum_{k=1}^{\infty} a_k z^k$ . Si $f$ no es constante, existe $n \geq 1$ tal que $a_n \neq 0$ . Entonces con $g(z) = \sum_{k=0}^{\infty} a_{n+k}z^k$ tenemos

$$ f(z) = f(0) + z^n g(z). $$

Conectando esto a $f(z) = f(1-\cos z$ ), obtenemos

$$ z^n g(z) = (1-\cos z)^n g(1-\cos z). $$

Al observar que $1-\cos z = \mathcal{O}(z^2)$ como $z\to 0$ Sin embargo,

$$ a_n = g(0) = \lim_{z\to0} \frac{(1-\cos z)^n g(1-\cos z)}{z^n} = 0, $$

lo cual es una contradicción.

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Para comprender la lógica de este argumento, puede considerar primero la siguiente pregunta más sencilla: Si $f : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ es entera y satisface $f(z) = f(z^2)$ ¿implica esto que $f$ ¿es constante?

Answer 2

Tenga en cuenta que $1 - \cos(0) = 0$ . Si $f$ no es constante, existe algún número entero positivo $n$ y $c \in \mathbb C \backslash \{0\}$ tal que $f(z) = f(0) + c z^n + O(z^{n+1})$ como $z \to 0$ . Pero esto también es $$f(1-\cos(z)) = f(0) + c (1-\cos(z))^n + O((1-\cos(z))^n) = f(0) + z^{2n}/2^n + O(z^{2n+2})$$