diferencia entre probabilidad condicional y regla de bayes

Question

Sé que la regla de Bayes se deriva de la probabilidad condicional. Pero, intuitivamente, ¿cuál es la diferencia? La ecuación me parece la misma. El nominador es la probabilidad conjunta y el denominador es la probabilidad del resultado dado.

Esta es la probabilidad condicional: $P(AB)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}$

Esta es la regla de Bayes: $P(AB)=\frac{P(B|A) * P(A)}{P(B)}$ .

¿No es $P(B|A)*P(A)$ y $P(A \cap B)$ ¿Igual? Cuando $A$ y $B$ son independientes, no hay necesidad de utilizar la regla de Bayes, ¿verdad?

Answer 1

Bien, ahora que has actualizado tu pregunta para incluir las dos fórmulas:

$$P(A\mid B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)} ~~ \text{provided that } P(B) > 0, \tag{1}$$ es el definición de la probabilidad condicional de $A$ dado que $B$ ocurrido. Igualmente, $$P(B\mid A) = \frac{P(B\cap A)}{P(A)} = \frac{P(A\cap B)}{P(A)} ~~ \text{provided that } P(A) > 0, \tag{2}$$ es el definición de la probabilidad condicional de $B$ dado que $A$ ocurrido. Ahora bien, es cierto que es una cuestión trivial sustituir el valor de $P(A\cap B)$ de $(2)$ en $(1)$ a llegar a $$P(A\mid B) = \frac{P(B\mid A)P(A)}{P(B)} ~~ \text{provided that } P(A), P(B) > 0, \tag{3}$$ que es Fórmula de Bayes pero observe que la fórmula de Bayes en realidad conecta dos diferente probabilidades condicionales $P(A\mid B)$ y $P(B\mid A)$ y es esencialmente una fórmula para "dar la vuelta al condicionamiento". El reverendo Thomas Bayes se refirió a esto en términos de "probabilidad inversa" e incluso hoy en día, hay sobre si la inferencia estadística debe basarse en la probabilidad inversa. basada en $P(B\mid A)$ o la probabilidad inversa (denominada el a posteriori o probabilidad posterior).

Sin duda es tan irritante para ti como lo fue para mí la primera vez que descubrí que la fórmula de Bayes no era más que una sustitución trivial de $(2)$ en $(1)$ . Quizás si hubieras nacido hace 250 años, usted (Nota: el OP se hizo pasar por el nombre de usuario AlphaBetaGamma cuando escribí esta respuesta, pero desde entonces ha cambiado su nombre de usuario) podría haber hecho la sustitución y luego la gente hoy estaría hablando de la fórmula AlphaBetaGamma y la herejía AlfaBetaGamma y el método ingenuo AlfaBetaGamma $^*$ en su lugar de invocar el nombre de Bayes en todas partes. Así que permítame consolarle por su pérdida de fama señalándole una versión diferente de la fórmula de Bayes. versión de la fórmula de Bayes. La ley de la probabilidad total dice que $$P(B) = P(B\mid A)P(A) + P(B\mid A^c)P(A^c) \tag{4}$$ y utilizando esto, podemos escribir $(3)$ como

$$P(A\mid B) = \frac{P(B\mid A)P(A)}{P(B\mid A)P(A) + P(B\mid A^c)P(A^c)}, \tag{5}$$ o más generalmente como $$P(A_i\mid B) = \frac{P(B\mid A_i)P(A_i)}{P(B\mid A_1)P(A_1) + P(B\mid A_2)P(A_2) + \cdots + P(B\mid A_n)P(A_n)}, \tag{6}$$ donde la probabilidad posterior de una posible "causa" $A_i$ de un "dato" $B$ está relacionado con $P(B\mid A_i)$ la probabilidad de que observación $B$ cuando $A_i$ es la hipótesis verdadera y $P(A_i)$ la probabilidad a priori (¡horror!) de la hipótesis $A_i$ .

---

$^*$ Allí es un famoso artículo de R. Alpher, H. Bethe y G. Gamow, "The Origin of Chemical Elements", Physical Review, 1 de abril de 1948, que se conoce comúnmente como el $\alpha\beta\gamma$ papel .

Answer 2

Una forma de pensar intuitivamente en el teorema de Bayes es que cuando cualquiera de ellos es fácil de calcular

$$P(A∣B) ~~ \text{or } P(B∣A)$$

podemos calcular el otro aunque al principio parece un poco difícil

Veamos un ejemplo, Aquí $$P(A∣B)$$ es decir tengo una cortina y te digo que hay un animal detrás de la cortina y dado que es un animal de cuatro patas ¿cuál es la probabilidad de que ese animal sea perro?

Es difícil encontrar una probabilidad para ello.

Pero puede encontrar la respuesta para $$P(B∣A)$$ Cuál es la probabilidad de que haya un animal de cuatro patas detrás de la cortina y dado que es un perro, ahora es fácil calcular que podría ser casi 1 y usted enchufa esos valores en el teorema de bayes y encontrará la respuesta para $$P(A∣B)$$ que es la probabilidad de que el animal sea un perro que al principio era difícil.

Ahora bien, ésta es sólo una versión simplificada en la que se puede intuir por qué reordenar la fórmula podría ayudarnos. Espero que te sirva de ayuda.