¿Puede ser arbitrariamente grande la dimensión del espacio tangente de Zariski de una curva compleja en un punto singular?

Question

¿Puede ser arbitrariamente grande la dimensión del espacio tangente de Zariski de una curva compleja en un punto singular?

¿Existe alguna fórmula que relacione la dimensión del espacio tangente de Zariski y el orden de la singularidad?

¿Cuáles son las referencias básicas (libros) para aprender sobre clasificación de singularidades de curvas complejas (no necesariamente planas)?

Answer 1

Consideremos la singularidad de la curva en el origen de la imagen $C$ del mapa $z \mapsto (z^e, z^{e + 1} \ldots, z^{e + n})$ donde $e$ es un número entero grande (digamos mayor que $n + 1$ ). Cualquier ecuación polinómica para $C$ debe tener términos constantes y lineales evanescentes. Por lo tanto, el espacio tangente de Zariski de $C$ en $0$ tiene dimensión $n + 1$ .

Answer 2

Otra forma de hacer una curva con muchas ramas a través de un punto es empezar con $\mathbb A^1$ en $\mathbb C$ (digamos) y luego pegar los puntos $t = 0, 1, \ldots, n$ (para algunos el valor de $n$ ).

Es decir, dejamos que $A$ sea el $\mathbb C$ -subálgebra de $\mathbb C[t]$ compuesto por polinomios $f$ tal que $f(0) = f(1) = \ldots = f(n).$ Se trata de un $\mathbb C$ -correspondiente a una curva (irreducible) con una singularidad a través de la cual hay $n+1$ ramas. Un cálculo muestra que el espacio tangente al origen tiene dimensión $n+1$ .