Límite de $\lim_{n \to \infty} \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \sqrt{n} \cos^n \theta d\theta$

Question

Estoy tratando de probar que el volumen de la intersección de la $n$ -bola unitaria euclidiana con la losa $-1/2 < x_{1} < 1/2$ es mayor que $0.96$ veces el volumen del $n$ -bola unitaria euclidiana de grandes dimensiones $n$ .

En medio de los cálculos, me quedé atascado en calcular $$ \lim_{n \to \infty}\,\int_{0}^{\pi/6} \sqrt{\, n\,}\cos^{n}\left(\theta\right)\,\mathrm{d}\theta $$ Creo que su límite es $1$ pero no pude probarlo. ¿Alguna idea?

Answer 1

Para tu pregunta sobre la integral del coseno, ¿conoces el método de Laplace? Te dará el límite.

Sin embargo, creo que puede haber formas más sencillas de conseguir tu resultado. Esencialmente quieres mostrar

$$\tag 1 \frac{\int_{1/2}^1(1-x^2)^{(n-1)/2}\,dx}{\int_{0}^1(1-x^2)^{(n-1)/2}\,dx} \to 0$$

como $n\to \infty.$ He usado Fubini y un poco de simetría para llegar hasta aquí. Ahora el numerador no es más que $(3/4)^{(n-1)/2}.$ El denominador es mayor que $\int_0^1 (1-x)^{(n-1)/2}\,dx = 2/(n+1).$ De ello se deduce que el cociente en $(1)$ está limitada por encima por

$$\frac{(3/4)^{(n-1)/2}}{2/(n+1)},$$

que $\to 0$ rápidamente.

Answer 2

Desde $\cos(x)=1-\frac{x^2}2+O\!\left(x^4\right)=e^{-\frac{x^2}2}\left(1+O\!\left(x^4\right)\right)$ tenemos que $$ \begin{align} \lim_{n\to\infty}\sqrt{n}\int_0^{\pi/6}\cos^n(x)\,\mathrm{d}x &=\lim_{n\to\infty}\sqrt{n}\int_0^{\pi/6}e^{-n\frac{x^2}2}\left(1+O\!\left(nx^4\right)\right)\,\mathrm{d}x\\ &=\lim_{n\to\infty}\int_0^{\sqrt{n}\pi/6}e^{-\frac{x^2}2}\left(1+O\!\left(\frac{x^4}n\right)\right)\,\mathrm{d}x\\ &=\int_0^\infty e^{-\frac{x^2}2}\,\mathrm{d}x\\ &=\sqrt{\frac\pi2} \end{align} $$

Answer 3

Reescriba la integral como

$$\sqrt{n} \int_0^{\pi/6} d\theta \, e^{n \log{(\cos{\theta})}} $$

Aquí podemos aplicar el método de Laplace. Hay un mínimo en el origen; todas las contribuciones fuera de este punto estacionario serán exponencialmente pequeñas. Así, a medida que $n \to \infty$ podemos aproximar el integrando con una serie de Taylor en la exponencial:

$$\sqrt{n} \int_0^{\epsilon} d\theta \, e^{-n \theta^2/2} $$

donde $\epsilon$ es el tamaño de la vecindad fuera de la cual podemos ignorar las contribuciones a la integral. que, con un error exponencialmente pequeño, puede aproximarse como

$$\sqrt{n} \int_0^{\infty} d\theta \, e^{-n \theta^2/2} = \sqrt{\frac{\pi}{2}}$$