Cualquier función a un orden (total) induce un preorden (total) en su dominio. Qué se puede decir de los preórdenes totales inducidos por una función continua desde un espacio topológico "bonito" (por ejemplo, un espacio euclídeo) a los reales?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Es posible caracterizar todos los preórdenes inducidos por una función de valor real. El siguiente resultado se debe esencialmente a Debreu y se basa en trabajos anteriores de Cantor.
Teorema: Sea $(T,\preceq)$ sea un conjunto totalmente preordenado. Los siguientes son equivalentes:
-
Existe una función $u:T\to\mathbb{R}$ tal que $u(x)\leq u(y)$ sólo si $x\preceq y$ .
-
Existe un conjunto contable $C\subseteq T$ tal que para todo $x\prec y$ hay $c\in C$ con $x\preceq c\preceq y$ .
Prueba:
(1 $\implies$ 2) $~~~$ Sea $u$ sea una función de este tipo. Llamar a un intervalo $(r,s)$ a brecha si existe $x,y\in T$ con $u(x)=r$ , $u(y)=s$ y $u^{-1}\big((r,s)\big)=\emptyset$ . Dos huecos cualesquiera son disjuntos y contienen un número racional. Por tanto, sólo hay un número contable de huecos. Pic para cada hueco $(r,s)$ elementos $x,y\in T$ con $u(x)=r$ , $u(y)=s$ y reunir estos elementos en el conjunto contable $C_1$ . Para cada intervalo abierto con extremos racionales $(p,q)$ tal que $u^{-1}\big((p,q)\big)\neq\emptyset$ elige un elemento $x\in u^{-1}\big((p,q)\big)$ y reunirlos en el conjunto contable $C_2$ . Entonces $C=C_11\cup C_2$ tiene las propiedades deseadas.
(2 $\implies$ 1) $~$ Sea $C=\{c_1,c_2,\ldots\}$ sea un conjunto contable. En $x\in T$ , dejemos que $$L_x=\big\{n\in\mathbb{N}:c_n\prec x\big\}$$ y $$U_x=\big\{n\in\mathbb{N}:c_n\succ x\big\}.$$ Dejando $$u(x)=\sum_{n\in L_x}\frac{1}{2^n}-\sum_{n\in U_x}\frac{1}{2^n}$$ para todos $x\in T$ obtenemos la función deseada. $\blacksquare$
Si $u$ es continua, obtenemos que los conjuntos $\{y\in T:y\succ x\}$ y $\{y\in T:y\prec x\}$ están abiertas a todos $x\in T$ . Si $T$ es un segundo espacio topológico contable con un preorden completo sobre él, esta condición es suficiente para que el preorden sea inducido por una función continua de valor real. La prueba, debida a Debreu, es bastante complicada, véase aquí (JSTOR). Esto resuelve, por supuesto, el caso en el que $T$ es un espacio euclidiano. Un libro que contiene mucho material sobre estos temas es "Representations of preferences orderings", de Bridges y Mehta.
