Sea $A$ sea un $n \times n$ matriz, cuyas entradas $X_{ij}$ son independientes y $P(X_{ij}=1)=P(X_{ij}=-1)=1/2$ . Calcule $\text{Var}(\text{det}(A))$ .
No sé muy bien cómo proceder. Creo que la pregunta puede implicar que cada $X_{ij}$ es $1$ o $-1$ casi seguro. Así que tal vez eso ayude.
Agradecería mucho cualquier ayuda con esta pregunta.
Por definición del determinante: $$\det(A)=\sum_{\sigma\in S_n}\varepsilon(\sigma)X_{1,\sigma(1)}\cdots X_{n,\sigma(n)}$$
Las variables aleatorias $Y_\sigma=\varepsilon(\sigma)X_{1,\sigma(1)}\cdots X_{n,\sigma(n)}$ no son independientes:
$$V(\det(A))=\sum_{\sigma\in S_n}V(Y_{\sigma})+\sum_{\sigma\neq\sigma'}Cov(Y_\sigma,Y_{\sigma'})$$
Ahora podemos demostrar que
Esto demostrará que $$V(\det(A))=n!$$
Primero, $V(Y_\sigma)=V(X_{1,\sigma(1)}\cdots X_{n,\sigma(n)})$ desde $|\varepsilon(\sigma)|=1$ . Seguiré denotando esto por $Y_{\sigma}$ .
Por independencia del $X_{ij}$ obtenemos que $$V(X_{1,\sigma(1)}\cdots X_{n,\sigma(n)})=\prod_{i=1}^nE(X_{i,\sigma(i)}^2)-\left(\prod_{i=1}^nE(X_{i,\sigma(i)})\right)^2$$
$E(X_{i,\sigma(i)}^2)=1$ desde $X_{i,\sigma(i)}^2=1$ a.s., y $E(X_{i,\sigma(i)})=0$ . Así que $V(Y_\sigma)=1$ .
Ahora $Cov(Y_\sigma,Y_{\sigma'})=E(Y_\sigma Y_{\sigma'})-E(Y_\sigma)E(Y_{\sigma'})$ .
Por independencia, $E(Y_\sigma)=E(Y_{\sigma'})=0$ . Entonces
$$E(Y_\sigma Y_{\sigma'})=E\left(X_{1,\sigma(1)}\cdots X_{n,\sigma(n)}X_{1,\sigma'(1)}\cdots X_{n,\sigma'(n)}\right)$$
En $\sigma\neq\sigma'$ existe $i\in\{1,\dots,n\}$ tal que $\sigma(i)\neq\sigma'(i)$ . Entonces $X_{i,\sigma(i)}$ es independiente de todas las demás variables del producto, por lo que se puede factorizar su valor esperado, que es $0$ . Acabamos de demostrar que $Cov(Y_\sigma,Y_{\sigma'})=0$ .
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
