Tengo que demostrar que algún conjunto de EDO tiene un único punto fijo, lo que se reduce a probar que para cualquier $\lambda > 0$ , $B \in \mathbb{N}_0$ y $r >0$ tenemos que los mapas: $$ f_1(x) :=x - 1 + (1-\lambda)\frac{1 - \left( \frac{\lambda}{1-x} + rx \right)^{B+1}}{1 - \left( \frac{\lambda}{1-x} + rx \right)} $$ y $$ f_2(x) := \left( \frac{\lambda + rx(1-x)}{1-x} \right) \cdot \left( (1-\lambda) \left(\lambda + \frac{\lambda x}{1-x} + rx\right)^B \right) + rx^2 - rx -x $$ comparten una única raíz (es decir $\exists! x \in [0,\infty[: f_1(x) = f_2(x) = 0$ ).
He hecho experimentos numéricos que parecen demostrar que $f_1$ tiene una raíz única en $[0,\infty)$ además esta raíz parece ser siempre una raíz de $f_2$ (por supuesto, esto no es una prueba, así que los contraejemplos también son bienvenidos).
Intenté demostrar que $f_1$ es convexa, obviamente basta con demostrar que $g(x) := \frac{1 - \left( \frac{\lambda}{1-x} + rx \right)^{B+1}}{1 - \left( \frac{\lambda}{1-x} + rx \right)}$ es convexa, es decir $g''(x) \geq 0$ pero, por desgracia, esto no es cierto en general, así que hay que tomar otro camino.
