Supongamos que $f(0)=0$ , $f^{\prime}(0)$ existe, y $f$ es positivo en $\mathbb{R}_+$ . Prueba $\int_0^b\frac{dx}{f(x)}$ diverge, donde $b>0$ es arbitraria.

Question

La prueba que dio mi TA fue que, como $f$ es diferenciable en 0, está de alguna manera asintóticamente relacionado con algún polinomio $x^p$ para $p\geq1$ . Entonces, como la integral de $x^{-p}$ diverge en cualquier intervalo [0,b], por lo que la integral de $f^{-1}$ (ya que $f<x^p\implies f^{-1}>x^{-p}$ ). En realidad no entiendo exactamente lo que significa estar asintóticamente relacionado con algún polinomio, así que intenté guiarme por los primeros principios.

Mi mejor suposición es que, dado que $\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(h)}{h}$ converge entonces $f$ converge más rápido que la identidad $function$ así que $\frac{1}{f}$ diverge más rápido que $\frac{1}{x}$ y puesto que la integral de $\frac{1}{x}$ diverge en el intervalo, entonces la integral de $f$ diverge en ese intervalo.

Sin embargo, no se trata en absoluto de una prueba rigurosa.

Answer 1

La afirmación de que $f'(0)$ "existe" significa normalmente que es un número real, es decir, finito, y no uno de los dos $\pm\infty$ . Si $f'(0)$ fueran negativos, entonces $f(x)$ sería negativo para $x$ suficientemente cerca de $0$ Así que $f'(0)$ debe ser $\ge 0$ . Sea $a=f'(0)+1<\infty$ . Recordemos que $$ f'(0) = \lim_{x\,\downarrow\,0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}. $$ Así que para $x$ lo suficientemente cerca de $0$ tenemos $$ \frac{f(x)-f(0)}{x-0} < a. $$ Por lo tanto $f(x) < ax$ . Por lo tanto $\dfrac 1 {f(x)} \ge \dfrac 1 {ax}$ . Por lo tanto $$ \int_0^b \frac{dx}{f(x)} \ge \int_0^b \frac{dx}{ax} = \infty. $$