Real Análisis de la cuestión que afecta la forma de pensar acerca de la función delta de Dirac.

Question

Bien, aquí están los ingredientes para esta pregunta.

Me: 60 años de edad. Hace 39 años, me tomó dos semestres de Análisis Real utilizando el Royden libro de texto. Rusty es un eufemismo. Pero todavía estoy bastante anal y el TOC. Yo también soy un ingeniero eléctrico, trabaja en el procesamiento de la señal. DSP y Lineal de la Teoría de sistemas son importantes para mí. También he tenido dos semestres (como estudiante de posgrado) de Análisis Funcional (uso de la Kreyszig de texto) y varios cursos de probabilidad, variables aleatorias y procesos aleatorios (un.k.a. "procesos estocásticos").

Ingenieros eléctricos (y sospecho que muchos de los físicos) esencialmente tratar $\delta(x)$ como una "función". Pero no lo es. Una cosa que recuerdo de R. A. es que si

$$ f(x) = g(x) $$

en casi todas partes en $E$, luego

$$ \int_E f(x) \, dx \ = \ \int_E g(x) \, dx $$

el problema es, por supuesto, que los ingenieros eléctricos (y sus profesores) como para pensar en

$$\begin{align} f(x) & = \delta(x) \\ g(x) & = 0 \end{align} $$

y que

$$ \int\limits_{-1}^{+1} f(x) \, dx = 1 \ne \int\limits_{-1}^{+1} g(x) \, dx = 0 $$

sin embargo, $f(x) = g(x)$ todas partes, excepto en un solo valor de $x$ .

Ahora que he escuchado (o leído) que el "delta de Dirac función no es realmente una función , pero es un 'distribución' o un 'funcional'." Y entiendo el significado de los términos "distribución" en el contexto de variables aleatorias y "funcional" en el contexto de la métrica de los espacios, la normativa de los espacios, etc. Es que el uso de estos dos términos en cuanto a $\delta(x)$?

Pregunta 1: Es el uso de la notación

$$ \int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x) \, \delta(x) \, dx $$

un nombre poco apropiado? No hay integración en marcha. Es sólo un funcional lineal a la que se asigna la función de $f(x)$$f(0)$. Ahora EEs y tal vez los físicos cómodamente mira que como parte integrante de la misma como

$$ \int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(0) \, \delta(x) \, dx = f(0)\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \delta(x) \, dx = f(0) $$

Pero desde $\delta(x)$ no es una función del todo, lo que hacen los matemáticos decir con esa notación?

Pregunta 2: ¿Cómo es fatal para los ingenieros eléctricos y físicos sistemáticamente el tratamiento de la delta de Dirac función simplemente como un límite de la "naciente deltas" , tales como

$$ \delta(x) \ \triangleq \ \lim_{\sigma \to 0^+} \frac{1}{ \sigma} \operatorname{rect} \left( \frac{x}{\sigma} \right) $$

donde $ \operatorname{rect}(x) \triangleq \begin{cases} 1 \quad |x|<\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \quad |x|=\frac{1}{2} \\ 0 \quad |x|>\frac{1}{2} \\ \end{casos} $

o

$$ \delta(x) \ \triangleq \ \lim_{\sigma \to 0^+} \frac{1}{\sigma} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x}{\sigma}\right)^2} $$

Lo que se va a matarnos a simple concretamente el tratamiento de la delta de Dirac como una función? Una función que es cero en casi todas partes, sin embargo, se integra a ser igual a 1 (donde la función es cero en todas partes se integra a ser 0).

Si hacemos eso, dentro de nuestras propias disciplinas, ¿qué problema matemático podría recortar hasta que mata a nosotros?

Este no es exactamente el mismo pero huele mucho a esta preocupación de Richard Hamming:

"¿Alguien cree que la diferencia entre el Lebesgue y las integrales de Riemann puede tener significado físico, y que si digo, un avión que le gustaría o no volar podría depender de esta diferencia? Si tales fueron reclamados, yo no debería de atención a volar en avión."

Yo podría hacer la misma pregunta con respecto a la del matemático y el ingeniero de la comprensión de la función delta de Dirac. Cómo podría un matemático contestar a esa pregunta?

Answer 1

En primer lugar, un comentario acerca de la propiedad que usted menciona. Es cierto que si $f$ $g$ son medibles funciones y $f = g$ casi en todas partes,

$$ \int_Ef(x)dx = \int_Eg(x)dx $$ This won't hold if $f$ and $g$ son distribuciones, ya que como dices las distribuciones no son funciones. De modo que la integral de la notación es sólo eso, es la notación. Ahora...

A1. La respuesta a tu primera pregunta viene de querer la teoría de distribuciones funcionalmente "como" la teoría de la más agradable lineal funcionales, es decir, que eran muy buenos en la manipulación de las integrales, por lo que quería la cosa nueva para operativamente el trabajo de la misma. Para los físicos, que fueron utilizados el la representación de Riesz teorema, esto significaba querer pensar lineal funcionales, como las integrales en contra de una función fija. Así que, por lo tanto el producto interior/integral de la notación

$$ F(\varphi) = \langle F,\varphi\rangle = \int F(x)\varphi(x)dx $$ Tenga en cuenta que en la distribución de la teoría, esta no es una norma integral de Lebesgue - es sólo notación formal. La integral de la notación es omnipresente, aunque no es lineal funcionales que se escriben de esta manera, pero también lineal de operadores

$$ g(x) = \int k(x,y)f(y)dy $$ There is even a sort of generalization of the Riesz representation theorem called the Schwartz Kernel Theorem that says that any (nice enough) linear operator $g = Ky$ can be written using an "integral" like that, but where the kernel function $k(x,y)$ es, posiblemente, una de distribución. La moraleja de la historia es, usted debe ampliar su comprensión de la integral de notación para incluir otros lineal de las operaciones, no solo la integración de funciones estándar. Una vez que hemos demostrado que todas las operaciones habituales que estás acostumbrado, como integración por partes, hacer sentido de las distribuciones, verás que el uso de la integral de la notación es muy natural y 100% riguroso - como usted recuerda que es sólo una notación para la "aplicar el lineal de operación especificada".

A2. No es fatal a todos a pensar en la función delta de esta manera - de hecho este es el método preferido para definir la función delta y muchas otras distribuciones. El rect función representa una especie de promedio local, y se puede pensar en la función delta como un "infinitamente" local media (es decir, la toma de muestras). La única cosa que yo recomendaría es buscar en "aproximaciones a la identidad" - el rect función de la construcción es sólo una posible construcción, y con el fin de mostrar que la función delta es definido de forma exclusiva, uno debe mostrar que cualquier secuencia similar de aproximado deltas también da el mismo resultado (por ejemplo, triángulos, Gaussianas, etc). En otras palabras, se podría definir la función delta "que lineal funcional tal que $F(\varphi) = \varphi(0)$, en cuyo caso deberá demostrar que esto es un bien definidas, delimitadas lineal de operación de algunas funciones del espacio, o alternativamente, se podría definir la función delta como "el límite de$\langle \delta_\epsilon,\varphi\rangle$$\epsilon\rightarrow 0$, en cuyo caso, usted todavía tiene que demostrar que este es un bien definidos, lineal operación en alguna función del espacio. De cualquier manera, el resultado es el mismo.

Answer 2

A1) Este debe ser considerado como un formal (notación utilizada principalmente por los físicos). Como una distribución de $\delta$ es $\delta:C^\infty_0\rightarrow\mathbf{C}$, $\delta(f)=f(0)$. La cosa es que para cualquier localmente integrable $g$ puede definir una distribución $G$$G(f)=\int_{\mathbf{R}} gfdx$. Pero para la distribución $\delta$ tales $g$ existe! En realidad $\delta$ es una función (en el sentido más general, de un "mapeo"). Cuando la gente dice que $\delta$ no es una función, a continuación, lo que significa rigurosamente es que no $g$ existe.

La gente usa la notación de todos modos, no me pregunte por qué.. $\delta$ es inducida por una medida, sin embargo! (Dirac medida!)

A2) $\delta$ puede ser visto como la distribución límite de dichos picos. No hay nada más que decir al respecto.