Probabilidad de absorción de un paseo aleatorio sesgado cuando el punto de partida tiene distribución binomial

Question

Consideremos un paseo aleatorio $\{0,1, ... , N\}$ con probabilidad $p$ y probabilidad a la baja de $p-1$ donde $p \neq 1/2$ . Supongamos que existen barreras absorbentes en $0$ y $N$ y ese el punto de partida, $S_0$ es aleatorio y tiene un $Bin (N,\theta)$ distribución para algunos $\theta \in (0,1)$ . Condicionando el punto de partida, hallar la probabilidad de absorción en $N$ .

La pregunta parece estar pidiendo encontrar

$$P(\text{absorption at}\ N|S_0=k)=P(\text{absorption at}\ N, S_0=k)/P(S_0=k)$$

El numerador es la probabilidad normal de absorción en $N$ . Así,

$$P(\text{absorption at N}\ |S_0=k)=\frac{\frac{1-(\frac{1-p}{p})^k}{1-(\frac{1-p}{p})^N}}{\binom{N} {k} \theta^k(1-\theta)^{n-k}}$$

Esto, sin embargo, no parece la dirección correcta. ¿Alguna sugerencia?

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EDITAR Lo que se me ocurre es que esto probablemente pidiendo una función generadora de probabilidad. Sin embargo, no estoy seguro de cómo implementarlo.

Answer 1

Intentaré darte una respuesta breve (en recuadros amarillos), así como un comentario sobre cómo conseguirlo. El primer paso consiste simplemente en hallar la probabilidad de absorción dado un punto de partida. Esto lo hacemos con relaciones de recurrencia.

Sea $a_n$ sea la probabilidad de ser absorbido en $N$ dado que el punto de partida está en $n$ .

La razón por la que he hecho esto es porque esta es la forma en que normalmente me plantearía un problema sobre las probabilidades de absorción y, sabiendo cómo suele ser la solución, creo que puedo trabajar en el bit binomial al final.

Definimos $a_n$ sólo para $n=0,1,\dots,n$ . Obtenemos la relación de recurrencia $$a_n=pa_{n+1} + (1-p)a_{n-1}$$ Del enunciado del problema. También obtenemos las condiciones de contorno $a_0=0,\,a_N=1.$

La relación de recurrencia proviene del hecho de que, una vez que se ha subido (o bajado) una unidad, el problema tiene el mismo aspecto que al principio, pero con un punto de partida diferente.

Por lo tanto $(1-p)a_n - a_{n+1} + pa_{n+2}=0.$ Resolvemos esta relación por métodos estándar:
Sea $a_n=\lambda^n.$ Entonces $a_{n+1} = \lambda a_n,\; a_{n+2}=\lambda^2 a_n.$ Sustituyendo en la relación de recurrencia, obtenemos $$(1-p) - \lambda + p\lambda^2=0$$ que puede factorizarse en $$\left(\lambda -1\middle)\middle(p\lambda - \left(1-p\right)\right)=0$$ así que la solución general es: $$a_n=A+B\left(\frac1p-1\right)^n$$ para constantes arbitrarias $A,B$ . Usando nuestras condiciones de contorno, $$0=A+B,\qquad 1=A +B\left(\frac1p-1\right)^N$$ Por lo tanto, $$A=-B,\qquad B=\frac1{\left(\frac1p-1\right)^N-1}$$ Así que $$\mathbb P(\text{absorption at N | started at n}) = a_n = \frac{\left(\frac1p-1\right)^n-1}{\left(\frac1p-1\right)^N-1},$$ excepto en el caso de que $p=\frac12$ que trataremos más adelante.

Probando algunos valores aproximados para $p$ da respuestas razonables. No podemos resolver así para $p=\frac12$ porque la relación de recurrencia es degenerada.

Ahora introducimos la probabilidad binomial para el punto de partida:

Por lo tanto, obtenemos \begin{align}\mathbb P(\text{absorption at N}) &=\sum_{n=1}^N\binom Nna_n\theta^n(1-\theta)^{N-n}\\ &=\frac1{\left(\frac1p\right)^N-1}\left(\sum\binom Nn\left(\frac1p-1\right)^n\theta^n(1-\theta)^{N-n} - \sum\binom Nn\theta^n(1-\theta)^{N-n}\right) \\&=\frac1{\left(\frac1p\right)^N-1}\left(\left(\left(\frac1p-2\right)\theta + 1\right)^N - 1\right).\end{align}

Consideremos ahora $p=\frac12.$ Tenemos $a_n=A+B n$ así con las condiciones de contorno: $$a_n=\frac nN$$ Si $G(x)$ es la pgf de la distribución para nuestro punto de partida, obtenemos $$\mathbb P(\text{absorption at N})=\frac{G'(1)}N.$$ Como sabemos $G(x)=\left((1-\theta) + \theta x\right)^N,$ obtenemos la sorprendente respuesta de: $$\mathbb P(\text{absorption at N})=\theta$$